齿轮渐开线公式推导过程

2012-2-27最近我在研究渐开线齿轮的参数化建模问题。经过一番搜索，在网上发现了一篇文章中关于用CATIAV5参数化建模的齿轮参数列表和计算公式。序号参数类型或单位公式描述1a角度(deg)标准值：20deg压力角：（10deg≤a≤20deg）2m长度(mm)——模数3z整数——齿数（5≤z≤200）4p长度(mm)m*π齿距5ha长度(mm)m齿顶高=齿顶到分度圆的高度6hf长度(mm)ifm1.25，hf=m*1.25；elsehf=m*1.4齿根高=齿根到分度圆的深度7rp长度(mm)m*z/2分度圆半径8ra长度(mm)rp+ha齿顶圆半径9rf长度(mm)rp-hf齿根圆半径10rb长度(mm)rp*cos(a)基圆半径11rr长度(mm)m*0.38齿根圆角半径12t实数0≤t≤1渐开线变量13xd长度(mm)rb*(cos(t*π)+sin(t*π)*t*π)基于变量t的齿廓渐开线X坐标14yd长度(mm)rb*(sin(t*π)-cos(t*π)*t*π)基于变量t的齿廓渐开线X坐标15b角度(deg)——斜齿轮的分度圆螺旋角16L长度(mm)——齿轮的厚度此表来自网络，多谢网友分享。（使用时个别地方还是要参考一下机械设计手册）我觉得，干咱们这一行的不仅要知其然，更要知其所以然。下面我将渐开线的坐标公式做如下推导：渐开线的形成及其性质：如图1所示，当直线BK沿半径为br的圆周作纯滚动时，直线上任一点K的轨迹AK就是该圆的渐开线。这个圆称为渐开线的基圆，半径br称为基圆半径，直线BK称为渐开线的发生线，k=AOK称为渐开线上点K的展角。由渐开线的形成过程，可得渐开线的性质如下：（1）发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过圆弧的长度，即KBAB。（2）渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。（3）渐开线上离基圆越远的部分，其曲率半径愈大，渐开线愈平直。（4）基圆内无渐开线。（5）渐开线的形状取决于基圆的大小。渐开线方程在图1中有两个重要的角度分别是：渐开线的展角k，另一个是渐开线的压力角k。由图1易得：cosbkkrr（1）cos2bkmzr（2）公式2中m为齿轮的模数，z为齿轮的齿数。将图1中的坐标系纵轴旋至与OA重合，如图2在图2中，OBBK则()tankkbABkkkblrBKOBOBr角的大小用弧度表示（3）令dx，dy分别为OK在x轴，y轴上投影的坐标值则sinsincosbdkkkrxOK（4）由3得tankkk（5）将5代入4：sin(tan)cosbdkkkrx(sintancoscostansin)cosbdkkkkkrx(sintantancostan)dbkkkxr（6）3代入6得：(sin()()cos())dbkkkkkkxr（7）令kka则(sincos)dbxraaa（8）同理可求：(cossin)dbyraaa（9）所以渐开线的笛卡尔坐标可表示为：(sincos)(cossin)dbdbxraaayraaa（10）下面我用MATlab验证公式：用为个公式就可以建出标准渐开线齿的参数化模型。（有图，有真相！）以上仅供参考。