--4平面向量、数系的扩充与复数的引入 质量检测

1第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2009·天津高考)i是虚数单位，5i2－i＝()A．1＋2iB．－1－2iC．1－2iD．－1＋2i解析：5i2－i＝5i(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－1＋2i.答案：D2．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直．答案：A3．(2010·利辛模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋b)∥(a－2b)，则实数m()A.14B．－12C.36D.34解析：ma＋b＝m(2,3)＋(－1,2)＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)．∵(ma＋b)∥(a－2b)∴1－2m＝(3m＋2)×4.∴m＝－12.答案：B4．如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD等于()2A．a＋34bB.14a＋34bC.14a＋14bD.34a＋14b解析：AD＝AB＋BD＝AB＋34BC＝AB＋34(AC－AB)＝14AB＋34AC＝14a＋34b.答案：B5．若在△ABC中，|AC|＝3，|BC|＝5，|AC|＝4，则|5AB＋BC|＝()A．410B．285C．210D.190解析：根据三边边长易知△ABC为直角三角形．cos〈AB，BC〉＝－35.∵|5AB＋BC|2＝25|AB|2＋|BC|2＋10|AB|·|BC|cos〈AB，BC〉＝160.∴|5AB＋BC|＝410.答案：A6．(2010·鞍山模拟)已知复数z＝1＋i，则z2－2zz－1等于()A．2iB．－2iC．2D．－2解析：z2－2zz－1＝(1＋i)2－2(1＋i)1＋i－1＝2i－2－2ii＝2i.答案：A7．已知命题：“若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0”是真命题，则下面对a，b的判断正确的是()A．a与b一定共线B．a与b一定不共线C．a与b一定垂直D．a与b中至少有一个为0解析：假设a与b共线，由已知得k1a＝－k2b，如果a、b均为非零向量，与已知条件矛盾．如果a、b中至少有一个非零向量，明显的与已知矛盾，排除A、D.把k1a＋k2b＝0两边平方得21ka2＋22kb2＋2k1k2a·b＝0，因为k1＝k2＝0，所以a·b不一定等于0，排除C.答案：B8．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b的坐标为()A．(3，－6)B．(－3,6)C．(6，－3)D．(－6,3)3解析：由题意设b＝λa＝λ(－1,2)．由|b|＝35得λ2＝9.λ＝±3.因为a与b的夹角是180°.所以λ＝－3.答案：A9．(2010·黄冈模拟)已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(1＋sinA,1＋cosA)，q＝(1＋sinB，－1－cosB)，则p与q的夹角是()A．锐角B．钝角C．直角D．不确定解析：锐角△ABC中，sinA＞cosB＞0，sinB＞cosA＞0，故有p·q＝(1＋sinA)(1＋sinB)－(1＋cosA)(1＋cosB)＞0，同时易知p与q方向不相同，故p与q的夹角是锐角．答案：A10．已知非零向量AB，AC和BC满足ABACABAC+·AC＝0，且ACAC·ACBC＝22，则△ABC为()A．等边三角形B．等腰非直角三角形C．非等腰三角形D．等腰直角三角形解析：ABAB、ACAC、BCBC均为单位向量．由ABACABAC+·BC＝0，得|AB|＝|AC|.由ACAC·BCBC＝1×1×cosC＝22，得C＝45°.故三角形为等腰直角三角形．答案：D11．如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA＝6，则MD·NC的值为()A．13B．26C．18D．36解析：MD·NC＝(OD－OM)·(OC－ON)＝OD·OC－OM·OC－OD·ON＋OM·ON＝6×6cos60°－6×2cos120°－6×2cos120°＋2×2cos180°＝26.4答案：B12．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：ab＝(a1，a2)(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝2，12，n＝π3，0，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，满足OQ＝mOP＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为()A．2，πB．2,4πC.12，4πD.12，π解析：设Q(x0，y0)，OQ＝(x0，y0)，OP＝(x，y)，∵OQ＝mOP＋n，∴(x0，y0)＝2，12x，y)＋π3，0＝2x，12y＋π3，0＝2x＋π3，12y，∴x0＝2x＋π3，y0＝12y，⇒x＝12x0－π6，y＝2y0.代入y＝sinx中得，2y0＝sin12x0－π6，所以最大值为12，周期为4π.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上．)13．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若z1z2为实数，则实数m＝________.解析：z1z2＝m＋2i3－4i＝(m＋2i)(3＋4i)25＝3m－8＋(6＋4m)i25是实数，∴6＋4m＝0，故m＝－32.答案：－3214．(文)若向量a＝(1＋2λ，2－3λ)与b＝(4,1)共线，则λ＝________.解析：依题意得4(2－3λ)－(1＋2λ)＝0，由此解得λ＝12.答案：12(理)已知a＝(3,2)，b(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数λ＝________.解析：∵(a＋λb)⊥b，∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝1＋5λ＝0，∴λ＝－15.5答案：－1515．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|＝2，则|a|＝________.解析：根据已知条件，组成以|a|，|b|，|c|为边长的三角形，由正弦定理得|a|sin(180°－120°)＝|c|sin(180°－135°)，又|c|＝2，所以|a|＝6.答案：616．在直角坐标系xOy中，i、j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，AB＝i＋j，AC＝2i＋mj，则实数m＝________.解析：本题考查了向量的运算．由已知可得BC＝AC－AB＝i＋(m－1)j.当A＝90°时，AB·AC＝(i＋j)·(2i＋mj)＝2＋m＝0，m＝－2.当B＝90°时，BA·BC＝－(i＋j)·[i＋(m－1)·j]＝－(1＋m－1)＝－m＝0，m＝0.当C＝90°时，CA·CB＝－(2i＋mj)·[－i－(m－1)j]＝2＋m(m－1)＝m2－m＋2＝0，此时m不存在．故m＝0或－2.答案：0或－2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，化简(1＋i)2(3＋4i)22z解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，即a2＋b2－1－3i＋a＋bi＝0，则a2＋b2＋a－1＝0b－3＝0，⇒a＝－4，b＝3，∴z＝－4＋3i.∴(1＋i)2(3＋4i)22z＝2i(－7＋24i)2(－4＋3i)＝24＋7i4－3i＝3＋4i.18．(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB，AD.解：法一：设AB＝a，AD＝b，则a＝AN＋NB＝d＋(－12b)，①b＝AM＋MD＝c＋(－12a)，②6将②代入①得a＝d＋(－12)[c＋(－12a)]⇒a＝43d－23c，代入②得b＝c＋(－12)(43d－23c)＝43c－23d.故AB＝43d－23c，AD＝43c－23d.法二：设AB＝a，AD＝b.所以BN＝12b，DM＝12a，因而c＝b＋12ad＝a＋12b⇒a＝23(2d－c)b＝23(2c－d)，即AB＝23(2d－c)，AD＝23(2c－d)．19．(本小题满分12分)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cos(π2－θ)，sin(π2－θ))．(1)求证：a⊥b；(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．解：(1)证明：∵a·b＝cos(－θ)·cos(π2－θ)＋sin(－θ)·sin(π2－θ)＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.(2)由x⊥y得：x·y＝0，即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3＝(t＋12)2＋114.故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知向量7m＝(1,2sinA)，n＝(sinA,1＋cosA)，且满足m∥n，b＋c＝3a.(1)求角A的大小；(2)求sinB＋π6的值．解：(1)∵m∥n，∴1＋cosA＝2sin2A，即2cos2A＋cosA－1＝0，解得cosA＝－1(舍去)，cosA＝12.又0＜A＜π，∴A＝π3.(2)∵b＋c＝3a，∴由正弦定理可得sinB＋sinC＝3sinA＝32.又C＝π－(A＋B)＝2π3－B，∴sinB＋sin2π3－B＝32，即32sinB＋32cosB＝32，∴sinB＋π6＝32.21．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1,0)．(1)若x＝π6，求向量a，c的夹角；(2)当x∈[π2，9π8]时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值．解：(1)设a，c的夹角为θ，当x＝π6时，cos〈a，c〉＝a·c|a|·|c|＝－cosxcos2x＋sin2x·(－1)2＋02＝－cosx＝－cosπ6＝cos5π6.∵0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝5π6.(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sinxcosx)＋1＝2sinxcosx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)．∵x∈[π2，9π8]，∴2x－π4∈[3π4，2π]，∴sin(2x－π4)∈[－1，22]，∴当2x－π4＝3π4，即x＝π2时，f(x)max＝1.822．(本小题满分14分)已知△ABC的面积为S，满足3≤S≤3，且AB·BC＝6，AB与BC的夹角为θ.(1)求角θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝sin2θ＋2sinθ·cosθ＋3cos2θ的最小值．解：(1)由题意知，AB·BC＝|AB|·|BC|cosθ＝6，①S＝12|AB|·|BC|sin(π－θ)＝12|AB|·|BC|sinθ，②由②①，得S6＝12tanθ，即3tanθ＝S.由3≤S≤3，得3≤3tanθ≤3，即33≤tanθ≤1.又θ为AB与BC的夹角，∴θ∈(0，π]，∴θ∈[π6，π4]．(2)f(θ)＝sin2θ＋2sinθ·cosθ＋3cos2θ＝1＋sin2θ＋2cos2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ＝2＋2sin(2θ＋π4)．∵θ∈[π6，π4]，∴2θ＋π4∈[7π12，3π4]，∴当2θ＋π4＝3π4，即θ＝π