导数 综合题

第-1-页共35页函数与导数综合题1．已知函数1()ln1afxxaxx()aR.（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；（Ⅱ）当102a≤时，讨论()fx的单调性.2．设函数2()(1)2ln(1)fxxx．（I）求()fx的单调区间；（II）当0a2时，求函数2()()1gxfxxax在区间[03]，上的最小值．3.已知函数21()(21)2ln()2fxaxaxxaR.(Ⅰ)若曲线()yfx在1x和3x处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求()fx的单调区间；(Ⅲ)设2()2gxxx，若对任意1(0,2]x，均存在2(0,2]x，使得12()()fxgx，求a的取值范围.4.已知()sinfxxax．(Ⅰ)若()fx在(,)上为增函数，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当常数0a时，设()()fxgxx，求()gx在5,66上的最大值和最小值.5.已知函数223241)(234xaxxxxf在区间1,1上单调递减，在区间2,1上单调递增.（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程mfx)2(有三个不同实数解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若函数pxfy)(log2的图象与坐标轴无交点，求实数p的取值范围.6．已知函数22()2lnfxaxx(常数0)a.(1)求证：无论a为何正数，函数()fx的图象恒过点(1,1)A；(2)当1a时，求曲线()yfx在1x处的切线方程；(3)讨论函数()fx在区间2(1,)e上零点的个数（e为自然对数的底数）第-2-页共35页7．已知三次函数32,,fxaxbxcxabcR.（Ⅰ）若函数()fx过点(1,2)且在点1,1f处的切线方程为20y，求函数fx的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间3,2上任意两个自变量的值12,xx都有12()()fxfxt，求实数t的最小值；（Ⅲ）当11x时，1)(xf，试求a的最大值，并求a取得最大值时fx的表达式.8．已知函数32()fxxaxbxc在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数()fx在R上有三个零点，且1是其中一个零点。（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求(2)f的取值范围；（Ⅲ）设()1gxx，且()()fxgx的解集为（-∞，1），求实数a的取值范围。9．已知函数(afxxaxR),lngxx.(1)求函数Fxfxgx的单调区间；(2)若关于x的方程22gxfxex(e为自然对数的底数)只有一个实数根,求a的值.10．已知函数)()(Rxkxexfx（1）若ek，试确定函数)(xf的单调区间；（2）若0k且对任意Rx，0|)(|xf恒成立，试确定实数k的取值范围；11．已知函数2()ln()fxaxxaR．（1）当12a时，求()fx在区间1,e上的最大值和最小值；（2）如果函数()gx，1()fx，2()fx，在公共定义域D上，满足12()()()fxgxfx，那么第-3-页共35页就称为()gx为12(),()fxfx的“活动函数”．已知函数2211()()2(1)ln2fxaxaxax，221()22fxxax．①若在区间1,上，函数()fx是1()fx，2()fx的“活动函数”，求a的取值范围；②当23a时，求证：在区间1,上，函数1()fx，2()fx的“活动函数”有无穷多个．12.已知4221()log(1)()1mxfxxxRx是偶函数。（I）求实常数m的值，并给出函数()fx的单调区间（不要求证明）；（II）k为实常数，解关于x的不等式：()(|31|).fxkfx13．已知函数211()ln().22fxaxxax(,0)aa为常数（I）若12x是函数()fx的一个极值点，求a的值；（II）求证：当102,()2afx时在[,+)上是增函数；（III）若对任意．．的(1,2),a总存在．．2001[,1],()(1)2xfxma使不等式成立，求实数m的取值范围。14．设函数1()xfxxae。（I）求函数()fx单调区间；（II）若()0fxxR对恒成立，求a的取值范围；15、设函数2()(1)2ln(1)fxxx。（Ⅰ）若在定义域内存在0x，而使得不等式0()0fxm能成立，求实数m的最小值；（Ⅱ）若函数2()()gxfxxxa在区间0,2上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围。第-4-页共35页16．已知函数f(x)=21xx；（1）证明：函数f(x)在(1,)上为减函数；（2）是否存在负数0x，使得00()3xfx成立，若存在求出0x；若不存在，请说明理由。17．设函数()(1)ln(1),(1,0)fxxaxxxa（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）当1a时，若方程()fxt在1[,1]2上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当mn0时，(1)(1)nmmn.18.已知函数1163)(23axxaxxf,1263)(2xxxg,和直线m：9kxy.又0)1(f.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线()yfx的切线，又是()ygx的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由.(3)如果对于所有2x的x,都有)(9)(xgkxxf成立，求k的取值范围.19、已知函数)0,()(23aRxdcxbxaxxf，2是)(xf的一个零点，又)(xf在0x处有极值，在区间)4,6(和)0,2(上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．（I）求ab的取值范围；（II）当ab3时，求使23),(|xxfyy2,3成立的实数a的取值范围．20．已知函数2()(22)ln(1)mfxmxmxmx．（I）讨论()fx的单调性；（II）设225(1)()113(1)22xxxxgxx．当2m时，若对任意1(0,2)x，存在2x第-5-页共35页[,1]kk（kN），使12()()fxgx，求实数k的最小值．21.设函数323,()ln(,)fxaxaxgxbxxabR，已知它们在1x处的切线互相平行.（1）求b的值；（2）若函数(),0()(),0fxxFxgxx，且方程2Fxa有且仅有四个解，求实数a的取值范围.22．已知函数xaxxfln)(图像上点))(,(efe处的切线与直线xy2平行（其中71828.2e），.2)(2txxxg（I）求函数)(xf的解析式；（II）求函数)0](2,[)(nnnxf在上的最小值；（III）对一切0,,3()()xefxgx恒成立，求实数t的取值范围。23．已知函数2()2ln.fxxxax(Ⅰ)若函数()(0,1)fx在区间上是单调函数，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当t1时，不等式(21)2()3ftft恒成立，求实数a的取值范围．24.某企业科研课题组计划投资研发一种新产品，根据分析和预测，能获得10万元～1000万元的投资收益.企业拟制定方案对课题组进行奖励，奖励方案为：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y=f(x)模拟这一奖励方案.（Ⅰ）试写出模拟函数y=f(x)所满足的条件；（Ⅱ）试分析函数模型y=4lgx-3是否符合奖励方案的要求？并说明你的理由.25.已知函数32(1)()ln(1)xxxfxaxx（Ⅰ）求f(x)在［-1，e］（e为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？第-6-页共35页26．()sin,(),()()().xfxexgxaxFxfxgx设函数()0,xFxaaxxfxgxxxxFxFxa121221（1）若=0是的极值点，求的值；1(2)当=时，若存在、使得()=()，求-的最小值；3(3)若0,+时，()(-)恒成立，求的取值范围。a27.已知2()ln,()3.fxxxgxxax（1）求函数()[,2](0)fxttt在＞上的最小值；（2）对一切(0,),2()()xfxgx≥恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切(0,)x，都有12lnxxeex＞成立.第-7-页共35页1．已知函数1()ln1afxxaxx()aR.（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；（Ⅱ）当102a≤时，讨论()fx的单调性.解：（Ⅰ）当1a=-时，2()ln1fxxxx=++-，(0,)x??.所以222()xxfxx+-=′，(0,)x??.………（求导、定义域各一分）2分因此(2)1f=′.即曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线斜率为1.…………3分又(2)ln22f=+，……………………………………………………4分所以曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为ln20xy-+=.………5分（Ⅱ）因为11ln)(xaaxxxf，所以211()afxaxx-=-+′221xaxax，(0,)x??.…………7分令2()1gxaxxa=-+-，(0,)x??，①当0a时，()1gxx=-+，(0,)x??，当(0,1)xÎ时，()0gx，此时()0fx′，函数()fx单调递减；………8分当(1,)x时，()0gx，此时()0fx′，函数()fx单调递增.……9分②当102a时，由()0fx′即210axxa解得11x=，211xa=-.此时1110a-，所以当(0,1)xÎ时，()0gx，此时()0fx′，函数()fx单调递减；…10分1(1,1)xa时，()0gx，此时'()0fx，函数()fx单调递增；……11分1(1,)xa时，()0gx，此时'()0fx，函数()fx单调递减.…12分综上所述：当0a时，函数()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+?上单调递增；第-8-页共35页当102a时，函数()fx在(0,1)上单调递减，在1(1,1)a-上单调递增；在1(1,)a-+?上单调递减.……………………………………2．设函数2()(1)2ln(1)fxxx．（I）求()fx的单调区间；（II）当0a2时，求函数2()()1gxfxxax在区间[03]，上的最小值．解：（I）定义域为(1,)．12(2)()2(1)11xxfxxxx．令()0fx，则2(2)01xxx，所以2x或0x．因为定义域为(1,)，所以0x．令()0fx，则2(2)01xxx，所以20x．因为定义域为(1,)，所以10x．所以函数的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(1,0)．……………7分（II）()(2)2ln(1)gxaxx（1x）．2(2)()(2)11axagxaxxx．因为0a2，所以20a，02aa．令()0gx可得2axa．所以函数()gx在(0,)2aa上为减函数，在(,)2aa上为增函数．①当032aa，即302a时，在区间[03]，上，()gx在(0,)2aa上为