导数(大题总结)

1★内部资料严禁兜售至臻书院版权所有1至臻高考内部资料一.专题综述利用导数处理函数、方程和不等式问题是高考必考的内容，常以一道大题的形式出现，并且有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个。试题考查丰富的数学思想，如函数与方程思想常应用解决函数与方程的相关问题，等价转化思想常应用于不等式恒成立问题和不等式证明问题，分类讨论思想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题，同时要求考生有较强的计算能力和综合问题的分析能力。纵观2011年各地的高考题，对于本专题常见的考点可分为八个方面，一是导数的几何意义的应用，二是导数运算和解不等式相联系，三是利用导数研究函数的单调性，四是利用导数研究函数的极值，五是利用导数研究函数的最值，六是利用导数研究不等式的综合问题，七是利用导数研究实际应用问题的最优化问题，八是微积分的应用。二．考纲解读1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义。2．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．3.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．4．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．6．会利用导数解决某些实际问题．掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤，如用料最少、费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等。7.掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法。8.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．了解微积分基本定理的含义．三.2013年高考命题趋向1.求导公式和法则，以及导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识.预测2012年高考仍将以导数的几何意义为背景设置成的导数与解析几何的综合题为主要考点．重点考查运算及数形结合能力。2.利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用(各套都从不同角度进行考查)预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向．3利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点，试题大多有难度，考查时多与函数的单调性、极值结合命题，考生学会做综合题的能力．预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性、极值与最值结合题目为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题．2★内部资料严禁兜售至臻书院版权所有2至臻高考内部资料4.微积分基本定理是高中数学的新增内容．通过分析近三年的高考试题，可以看到对它考查的频率较低，且均是以客观题的形式出现的，难度较小，着重于基础知识、基本方法的考查．四．高频考点解读考点一导数的几何意义例1[2011·湖南卷]曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为()A．－12B.12C．－22D.22【答案】B【解析】对y＝sinxsinx＋cosx－12求导得到:y′＝cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinxsinx＋cosx2＝1sinx＋cosx2，[来源:学科网ZXXK]当x＝π4，得到y′x＝π4＝122＋222＝12.例2[2011·山东卷]曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15【答案】C【解析】因为y′＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，所以与y轴交点的纵坐标为9.考点二导数的运算例3[2011·江西卷]若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)【答案】C【解析】方法一：令f′(x)＝2x－2－4x＝2x－2x＋1x0，又∵f(x)的定义域为{x|x0}，∴(x－2)(x＋1)0(x0)，解得x2.故选C.方法二：令f′(x)＝2x－2－4x0，由函数的定义域可排除B、D，取x＝1代入验证，可排除A，故选C.例4[2011·辽宁卷]函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)【答案】B【解析】设G(x)＝f(x)－2x－4，所以G′(x)＝f′(x)－2，由于对任意x∈R，f′(x)2，所以G′(x)＝f′(x)－20恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数，又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－40，即f(x)2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B.考点三利用导数研究函数的单调性例5[2011·广东卷]设a＞0，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．【解答】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2a1－ax2－21－ax＋1x，3★内部资料严禁兜售至臻书院版权所有3至臻高考内部资料x2＝12a＋a－13a－12a1－a0，所以f′(x)在定义域内有唯一零点x1，且当0xx1时，f′(x)0，f(x)在(0，x1)内为增函数；当xx1时，f′(x)0，f(x)在(x1，＋∞)内为减函数．f(x)的单调区间如下表：0a1313≤a≤1a1(0，x1)(x1，x2)(x2，＋∞)(0，＋∞)(0，x1)(x1，＋∞)(其中x1＝12a－a－13a－12a1－a，x2＝12a＋a－13a－12a1－a)例6[2011·福建卷]已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(mM)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．【解答】(1)由f(e)＝2得b＝2.(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx.从而f′(x)＝alnx.因为a≠0，故：①当a0时，由f′(x)0得x1，由f′(x)0得0x1；②当a0时，由f′(x)0得0x1，由f′(x)0得x1.综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xlnx，f′(x)＝lnx.由(2)可得，当x在区间1e，e内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x1e1e，11(1，e)e[来源:学。科。网]f′(x)－0＋f(x)2－2e单调递减极小值1单调递增24★内部资料严禁兜售至臻书院版权所有4至臻高考内部资料又2－2e2，所以函数f(x)(x∈1e，e)的值域为[1,2]．据此可得，若m＝1，M＝2相对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都有公共点；并且对每一个t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都没有公共点．综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都有公共点．例7[2011·安徽卷]设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．【解答】对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.结合①可知x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以，x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a0，知0a≤1.【解题技巧点睛】单调性是函数的最重要的性质，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性，含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、分类讨论的良好素材．函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点．函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小．对于在指定区间上不等式的恒成立问题，一般是转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案．考点四利用导数研究函数的极值问题例8[2011·安徽卷]函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1]上的图像如图1－2所示，则m，n的值可能是()A．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝2C．m＝2，n＝1D．m＝3，n＝1【答案】B5★内部资料严禁兜售至臻书院版权所有5至臻高考内部资料【解析】由图可知a＞0.当m＝1，n＝1时，f(x)＝ax(1－x)的图像关于直线x＝12对称，所以A不可能；当m＝1，n＝2时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(3x－1)(x－1)，所以f(x)的极大值点应为x＝13＜0.5，由图可知B可能．当m＝2，n＝1时，f(x)＝ax2(1－x)＝a(x2－x3)，f′(x)＝a(2x－3x2)＝－ax(3x－2)，所以f(x)的极大值点为x＝23＞0.5，所以C不可能；当m＝3，n＝1时，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)，f′(x)＝a(3x2－4x3)＝－ax2(4x－3)，所以f(x)的极大值点为x＝34＞0.5，所以D不可能，故选B.例9[2011·浙江卷]设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.(1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a；(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．从而，当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，即f(x)在(0，x0)内单调递增，在(x0，a)内单调递减，在(a，＋∞)内单调递增．所以要使f(x)≤4e2对x∈(1,3e]恒成立，只要fx0＝x0－a2lnx0≤4e2，1f3e＝3e－a2ln3e≤4e22成立．由h(x0)＝2lnx0＋1－ax0＝0，知a＝2x0lnx0＋x0.(3)将(3)代入(1)得4x20ln3x0≤4e2.又x01，注意到函数x2ln3x在[1，＋∞)内单调递增，故1x0≤e.再由(3)以及函数2xlnx＋x在(1，＋∞)内单调递增，可得1a≤3e.6★内部资料严禁兜售至臻书院版权所有6至臻高考内部资料由(2)解得，3e－2eln3e≤a≤3e＋2eln3e，所以3e－2eln3e≤a≤3e.综上，a的取