92名师手拉手高三数学第二轮专题复习---平面向量

第1页共27页1高三数学第二轮专题复习---平面向量一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决第2页共27页2平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。五、典型例题平面向量【例1】在下列各命题中为真命题的是()①若a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则a·b=x1y1+x2y2②若A(x1,y1)、B(x2,y2)，则｜AB｜=221221)()(yyxx③若a=(x1,y1)、b=(x2,y2),则a·b=0x1x2+y1y2=0④若a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则a⊥bx1x2+y1y2=0A、①②B、②③C、③④D、①④解：根据向量数量积的坐标表示；若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、说明：对于命题(3)而言，由于a·b=0a=0或b=0或a⊥bx1x2+y1y2=0，故它是一个真命题、而对于命题(4)来讲，a⊥bx1x2+y1y2=0、但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即a=0，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0a⊥b)，所以命题(4)是个假命题、【例2】已知a=(－3,－1),b=(1,3)，那么a，b的夹角θ=()A、30°B、60°C、120°D、150°第3页共27页3解：a·b=(－3,－1)·(1，3)=－23｜a｜=22)1()3(=2｜b｜=22)3(1=2∴cosθ=baba=2232=23【例3】已知a=(2,1),b=(－1,3),若存在向量c使得：a·c=4,b·c=－9，试求向量c的坐标、解：设c=(x,y),则由a·c=4可得：2x+y=4；又由b·c=－9可得：－x+3y=－9于是有：9342yxyx)2()1(由(1)+2(2)得7y=－14,∴y=－2,将它代入(1)可得：x=3∴c=(3,－2)、说明：已知两向量a，b可以求出它们的数量积a·b，但是反过来，若已知向量a及数量积a·b，却不能确定b、【例4】求向量a=(1,2)在向量b=(2，－2)方向上的投影、解：设向量a与b的夹角θ、有cosθ=baba=2222)2(221)2(221=－1010∴a在b方向上的投影=｜a｜cosθ=5×(－1010)=－22【例5】已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高AD，求AD及点D的坐标、解：设点D的坐标为(x,y)∵AD是边BC上的高，第4页共27页4∴AD⊥BC，∴AD⊥BC又∵C、B、D三点共线，∴BC∥BD又AD=(x－2,y－1),BC=(－6,－3)BD=(x－3,y－2)∴0)3(3)2(60)1(3)2(6xyyx解方程组，得x=59,y=57∴点D的坐标为(59，57)，AD的坐标为(－51，52)【例6】设向量a、b满足：｜a｜＝｜b｜=1，且a+b=(1，0)，求a，b、解：∵｜a｜＝｜b｜=1，∴可设a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)、∵a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，)2(0βsinαsin)1(1βcosαcos由(1)得：cosα=1－cosβ……(3)由(2)得：sinα=－sinβ……(4)∴cosα=1－cosβ=21∴sinα=±23,sinβ=2323,2123,21ba或23,2123,21ba【例7】对于向量的集合A={v=(x,y)｜x2+y2≤1}中的任意两个向量1v、2v与两个非负实数α、β；求证：向量α1v+β2v的大小不超过α+β、第5页共27页5证明：设1v=(x1,y1)，2v=(x2,y2)根据已知条件有：x21+y21≤1,x22+y22≤1又因为｜α1v+β2v｜=221221)βα()βα(yyxx=)(αβ2)(β)(α21212222221212yyxxyxyx其中x1x2+y1y2≤2121yx2222yx≤1所以｜α1v+β2v｜≤αβ2βα22=｜α+β｜=α+β【例8】已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=21AB、求证：AC⊥BC证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)∴BC=(－1,1),AC=(1,1)BC·AC=－1×1+1×1=0∴BC⊥AC、【例9】已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出最大值、解，设C(x,0)(x＞0)则CA=(－x,a),CB=(－x,b)则CA·CB=x2+ab、cos∠ACB=CBCACBCA=22222bxaxabx令t=x2+ab故cos∠ACB=11)(1)(1222tbatbaab当t1=ab21即t=2ab时，cos∠ACB最大值为baab2、第6页共27页6当C的坐标为(ab,0)时，∠ACB最大值为arccosbaab2、【例10】如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明(1)PA=EF(2)PA⊥EF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，｜OP｜=λ,则A(0，1)，P(22λ，22λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0)∴PA=(－22λ,1－22λ),EF=(22λ－1,－22λ)(1)｜PA｜2=(－22λ)2+(1－22λ)2=λ2－2λ+1｜EF｜2=(22λ－1)2+(－22λ)2=λ2－2λ+1∴｜PA｜2=｜EF｜2,故PA=EF(2)PA·EF=(－22λ)(22λ－1)+(1－22λ)(－22λ)=0∴PA⊥EF∴PA⊥EF、【例11】已知).1,2(),0,1(ba①求|3|ba；②当k为何实数时,kab与ba3平行,平行时它们是同向还是反向？解：①ba3=(1,0)+3(2,1)=(7,3),∴|3|ba=2237=58.②kab=k(1,0)－(2,1)=(k－2,－1).设kab=λ(ba3),即(k－2,－1)=λ(7,3),∴λ31λ72k31λ31k.故k=31时,它们反向平行.第7页共27页7【例12】已知,1||,2||baa与b的夹角为3π,若向量bka2与ba垂直,求k.解：3πcos||||baba=2×1×21=1.∵bka2与ba垂直,∴(bka2))(ba=0,∴20222bkbakbaak=－5.【例13】如果△ABC的三边a、b、c满足b2+c2=5a2,BE、CF分别为AC边与AB上的中线,求证：BE⊥CF.解：,0)5(81)5(81)](21)(21)(21[41)(41)(21),(2122222222222222222acbBCACABBACBCABCBCACABACBCBACACBBCACABBCBACFBECACBCFBCBABE∴BE⊥CF,即BE⊥CF.【例14】是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?解：如图所示，在正△ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，满足PA，PB，PC，PO两两不共线，有(PA+PB)·(PC+PO)=(PO+OA+PO+OB)·(PO+OC+PO)=(2PO+OA+OB)·(2PO+OC)=(2PO－OC)·(2PO+OC)=4PO2－OC2第8页共27页8=4PO2－OC2=0有(PA+PB)与(PC+PO)垂直、同理证其他情况、从而PA，PB，PC，PO满足题意、故存在这样4个平面向量、平面向量的综合应用1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题【例1】已知向量321,,OPOPOP满足条件0321OPOPOP，1321OPOPOP，求证：321PPP是正三角形解：令O为坐标原点，可设333222111sin,cos,sin,cos,sin,cosPPP由321OPOPOP，即332211θsinθcosθsin,θcosθsin,θcos321321θsinθsinθsinθcosθcosθcos两式平方和为11θθcos2121，21θθcos21，由此可知21的最小正角为0120，即1OP与2OP的夹角为0120，同理可得1OP与3OP的夹角为0120，2OP与3OP的夹角为0120，这说明321,,PPP三点均匀分部在一个单位圆上，所以321PPP为等腰三角形.【例2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰