微分方程——高阶线性解的结构

机动目录上页下页返回结束高阶线性微分方程解的结构第七节二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法一、二阶线性微分方程举例第十二章一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.机动目录上页下页返回结束据牛顿第二定律得,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力作用，tpHFsin，令mhH则得强迫振动方程:tphxktxntxsindd2dd222机动目录上页下页返回结束求电容器两两极板间电压0ddiRCqtiLE例2.联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.cu提示:设电路中电流为i(t),∼~‖LERKCqqi上的电量为q(t),自感电动势为,LE由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串极板机动目录上页下页返回结束在闭合回路中,所有支路上的电压降为0LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得0dd2dd2022CCCututu~‖LERKCqqi22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin机动目录上页下页返回结束化为关于cu的方程:故有n阶线性微分方程的一般形式为方程的共性为二阶线性微分方程.例1例2,)()()(xfyxqyxpy—可归结为同一形式:)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn时,称为非齐次方程;0)(xf时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf机动目录上页下页返回结束])[(11yCxP][)(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得][11yC22yC22yC22yC])()([1111yxQyxPyC])()([2222yxQyxPyC(叠加原理))()(2211xyCxyCy则定理1.机动目录上页下页返回结束说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数机动目录上页下页返回结束两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使1221)()(kkxyxy(无妨设)01k线性无关)()(21xyxy常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关机动目录上页下页返回结束定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y机动目录上页下页返回结束三、线性非齐次方程解的结构)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将)(*)(xyxYy代入方程①左端,得)*(yY)*()(yYxP))()((YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ②①复习目录上页下页返回结束)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解xCxCYsincos21对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.机动目录上页下页返回结束定理4.分别是方程的特解,是方程),,2,1()()()(nkxfyxQyxPyk)()()(1xfyxQyxPynkk的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.机动目录上页下页返回结束定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程)()(xyxY是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动目录上页下页返回结束常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD例3.提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)机动目录上页下页返回结束例4.已知微分方程)()()(xfyxqyxpy个解,,,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解:1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三机动目录上页下页返回结束*四、常数变易法复习:常数变易法:)()(xfyxpy对应齐次方程的通解:)(1xyCyxxpexyd)(1)(设非齐次方程的解为)(1xyy代入原方程确定).(xu对二阶非齐次方程)()()(xfyxQyxPy情形1.已知对应齐次方程通解:)()(2211xyCxyCy设③的解为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv③))(),((21待定xvxv由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④)(xu机动目录上页下页返回结束2211vyvyy2211vyvy⑤,,21vvy中不含为使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy将以上结果代入方程①:2211vyvy1111)(vyQyPy)()(2222xfvyQyPy得)(2211xfvyvy⑥故⑤,⑥的系数行列式02121yyyyW21,yy是对应齐次方程的解,,21线性无关因yyP10目录上页下页返回结束fyWvfyWv12211,1积分得:)(),(222111xgCvxgCv代入③即得非齐次方程的通解:)()(22112211xgyxgyyCyCy于是得说明:将③的解设为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一个必须满足的条件即方程③,因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算.机动目录上页下页返回结束情形2.).(1xy仅知③的齐次方程的一个非零特解,)()(1xyxuy令代入③化简得uyPyuy)2(111uyQyPy)(111fuz令fzyPyzy)2(111设其通解为)()(2xzxZCz积分得)()(21xuxUCCu(一阶线性方程)由此得原方程③的通解:)()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy代入③目录上页下页返回结束例5.0)1(yyxyx的通解为,21xeCxCY的通解.解:将所给方程化为:1111xyxyxxy已知齐次方程求2)1()1(xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用⑤,⑥建立方程组:021vevxx121xvevx,,121xexvv解得积分得xexCvxCv)1(,2211故所求通解为)1(221xxeCxCyx)1(221xeCxCx⑤,⑥目录上页下页返回结束例6.42)()2(xyyxxyx求方程的通解.解:对应齐次方程为0)()2(2yyxxyx由观察可知它有特解:,1xy令,)(xuxy代入非齐次方程后化简得xuu此题不需再作变换.特征根:,1,0rr设⑦的特解为)(BAxxu于是得⑦的通解:)(22121xxeCCux故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程)⑦代入⑦可得:1,21BA)(232121xxexCxCuxyx机动目录上页下页返回结束思考与练习P300题1,3,4(2),(5)作业P301*6,*8第八节目录上页下页返回结束