闭区间上连续函数性质的证明

第二节闭区间上连续函数性质的证明福州大学数学与计算机学院1一、有界性定理二、最值定理三、零点存在定理四、反函数连续性定理五、一致连续性定理福州大学数学与计算机学院2用反证法.)(lim,)(],[,,32,1.)(],,[,],[)(nnnnnnnxfnxfbaxxnnxfbaxnbaxf即并且，得到一列取使得都存在一点整数上无界，即对任意的正在假设定理1设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界.证明一:(应用致密性定理证明)一有界性定理福州大学数学与计算机学院3).()(lim)(limlim)()(lim,)(].,[],[.lim}{}{00000000xfxfxfxxxfxfxbaxfbaxbaxxxxxxxnknkxxnnknnkkkkk限的关系可得根据函数极限与数列极，又，点处有故在上连续，在，则由于，不妨设一收敛的子列中可以找到在有界数列由致密性定理，福州大学数学与计算机学院4.,],[)(..)(lim,)(lim这就证明了定理与已知条件矛盾的上无界的假设是在也就是说盾的结果相矛因此我们得到了两个互可知由子列的性质再另一方面，由baxfxfxfknknn福州大学数学与计算机学院5证法二:，性由连续函数的局部有界使得0),;(],,[''''xxMxobax].,[);()('''baxoxMxfxx]},,[);({'''baxxoHx考虑开区间集，，baH由有限覆盖定理的一个无限开覆盖是显然],[},,2,1],,[);({kibaxxoHHiii的一个有限子集存在(应用有限覆盖定理证明)福州大学数学与计算机学院6.,,2,1)(].,[);(kiMxfbaxoxiii有ikiMM1max令.)();(],,[MMxfxoxbaxiii必属于某则.],[上有界在从而baf使得且存在正数覆盖了,,,,],[21KMMM，ba福州大学数学与计算机学院7用反证法等分为两个小区间上无界，将在若],[],[)(babaxf，至少在其中之一上无界则与)(],,2[]2,[xfbbabaa等分为两个小；再将闭区间把它们记为],[],[1111baba至少在其，同样与闭区间)(],2[]2,[111111xfbbabaa证明三:(应用区间套定理证明)这样的步骤一；记为中之一上无界，把它们],[22ba福州大学数学与计算机学院8在其中闭区间套直做下去，便得到一个)(]},,{[xfbann根据闭区间套定上都是无界的任何一个闭区间.],[nnba并且属于所有的闭区间存在唯一的实数理],,[,nnbannnnbalimlim＝ξ连续，b]，而f(x)在点[a,因为ξ,0,0M存在成立对于一切],,[),(baOx性定理，由连续函数的局部有界.)b,a(),b,a[]b,a(]b,a[:结论未必成立或改成若注意福州大学数学与计算机学院9nbannnn大的我们又可知道对于充分由于,limlim],,[),(],[baObann上有界充分大在这些闭区间于是得到)](,[)(nbaxfnn.，证毕的结论，从而产生矛盾.)1,0(1)(上连续，但无界在开区间例如：xxf是一个有界数集。上有界，即就是集合在}],[)({].[)(baxxfRbaxff.)(Mxf福州大学数学与计算机学院10定理2设f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值.证法一(应用致密性定理证明).,)(,.],[)(最大值即为有最大值下证为上确界设下确界和上有界，因而有上确界在由有界性定理，xfbaxf.)(lim,)(1)3,2,1(],[)3,2,1(1)(],,[0nnnnnxfxfnnbaxnnxfbax即使得，则存在，取使，对由上确界的定义，二最大最小值定理福州大学数学与计算机学院11.)(lim].,[,lim.00kkknknknnnxfbaxxxxxx再由子列性质不妨假设收敛的子列有一由致密性原理是一个有界数列，.)()(.)()(lim)(lim),()(lim)(00000有最小值有最大值，同理可证即证明了和数列极限的关系可得有函数极限点连续即在而xfxfxfxfxfxfxfxxfxxnkxxk福州大学数学与计算机学院12证明二:(应用确界原理证明)，bafbaf有上确界故由确界原理上有界在由于已证得]),([,.],[.M记为.)(],,[:Mfba使以下证明令都有假设,)(],[Mxfbax].,[,)(1)(baxxfMxg.],[)(],[)(上有界在故上连续在则baxg，baxg福州大学数学与计算机学院13].,[,)(1)(0baxGxfMxg则].,[,1)(baxGMxf从而推得.)(]),([相矛盾最小上界的上确界为这与bafM.],[.)(],,[上有最大值在即使所以必bafMfba.],[上有最小值在同理可证baf，gG的一个上界是设福州大学数学与计算机学院14.)1,0()(,)1,0()(:既无最大值又无最小值在但和下确界上确界上连续且有界，因而有在例如xfxxf和最小值，不一定能取到最大值：开区间上的连续函数注1最小值不一定能取到最大值和：区间上不连续函数也注2.]10[,)(.]10[,)(:值上有最大值但是无最小，在－值上无最大值但是有最小，在例如xxxfxxxf福州大学数学与计算机学院15定理3(零点存在定理)设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)0),则至少存在一点(a,b)使f()=0.三零点存在定理证明:(应用区间套定理证明);,0)(即为所求则若ccf,0)(,0)(bfaf不妨设，bccaba],[],[],[与等分为两个子区间将福州大学数学与计算机学院16,0)(0)(11b，faf则有:],[11得到重复上述过程出发再从，，ba,0)(],[1111cfcba上有的中点或者在且上满足或者在,0)(,0)(],[2222bfafba，cabacfcf],[],[0)(,0)(11时记则当若，bcbacf],[],[0)(11时记当).(21],[],[1111abab，baba且福州大学数学与计算机学院17:将出现两种情形去将上述过程不断进行下，).(21],,[],[2221122ababbaba;,0)()(即为所求则上有在某一区间的中点iiiccfci,0)()(iicfcii上均有在任一区间的中点且满足,0)(,0)(nnbfaf]},{[nnba则得到闭区间列福州大学数学与计算机学院18.limlim],,[nnnnbaba，使由区间套定理.0)(f下证.,2,1),(21],[],[11nabab，babannnnnnn.],[)(处连续上连续，因此在点在baxf.0)(,0)(lim)(,0)(lim)(fbffaffnnnn即得到因而同时有福州大学数学与计算机学院19介值定理闭区间[a,b]上的连续函数f(x)可以取其最大值和最小值之间的一切值.即设f(x)在[a,b]上的最大值为M，最小值为m，那么对任意的c，mcM,则至少存在一点(a,b)使f()=c.福州大学数学与计算机学院20需要证明：在只的存在性和单调性，现我们已经证明了反函数四、反函数连续性定理.),()(,)(,)()(4和连续的减少上也是单调增加间它在区的反函数存在反函数上，则在区间又设连续，且减少严格单调增加在设定理xyxxfyxbfafbxaxf.],[)(是严格单增且连续的在不妨假设证明：baxfy福州大学数学与计算机学院21].,[)()(,)(,,.)(,],[1)00的值域为的值域中，即证明了也在内的任何，这表明，满足中必存在一点定理，在由介值如果的值域中在和即或，那么相应的或中的任意一点，如果是设xfyxfyyxfxbayxfbaxyy证明如下上连续在反函数；的值域是函数.],[)()2],[)(1)yxxfy福州大学数学与计算机学院22.)(-)(00,)(,),(2)0000yyyyyyy时，有，当即证点连续，在要证明中的任意一点是设.,-)(-)().(,)(,)()(00000000xxxxxyyxfyyxfxyxy即化为此时要证明的不等式那么，记福州大学数学与计算机学院23..)(-)()()(),()(min0000000点连续因此反函数在就有时，则当，因此取yyyyyxfxfxfxf.2.）即证明了端点处的连续性同样可以证明反函数在利用左右连续的定义，)()()()()()()(,,)(000000000xfxfyyxfxfxfxfxfxxxyx即只需成立因此要不等式的是严格单调增加由于.)()(上一致连续在上连续不一定得到在XxfXxf福州大学数学与计算机学院24定义,,,,,0)(,0)(xfxfxxXxxXxf就有且只要上定义，若在区间设函数.)(一致连续上在区间则称函数Xxf上连续在上一致连续在XxfXxf)()(五、一致连续性定理但有,n1xxnn福州大学数学与计算机学院25（康托定理）定理5在闭区间若函数)(xf.],[],[上一致连续上连续，则它在baba采用反证法上非一致连续，在闭区间假设],[)(baxf,2,1,)()(0nxfxfnn满足b],[a,,,和0，及两数列ε0nnnnxxxx定理，有界，由x因为n致密性证法一(应用致密性定理证明)福州大学数学与计算机学院26],,[,lim}{baxxkknnn：存在收敛子列下标相同，其下标与中取子列在点列}{},{}{kknnnxxx又得到－则由),2,1(1knxxknnkk,lim)]([limlimkkkkknknnnknkxxxxx连续，因而有在点由于)(xf)()(lim)(limfxfxfkknknk于是得到：0)]()([limkknnkxfxf.,)()(0证毕产生矛盾但这与kknnxfxf福州大学数学与计算机学院27证明二:(应用有限覆盖定理证明)上的连续性在由],[baf时有且当],[);(,0],,[,0''baxxoxbaxxx.2/)()('xfxf]},,[)2,({baxxoHx考虑开区间集合由在限覆盖定理的一个开覆盖是显然，baH],[},,2,1)2,({kixoHHii的一个有限子集存在福州大学数学与计算机学院28.02δminδ记b].[a,覆盖了iki1，Hxxxbaxx中某个开区间必属于''''''',],,[,此时有即设，xxxoxiiii2),2,('',222''''''iiiiiixxxxxx.2)()(2)()('''iixfxf，xfxf同时有.)()('''xfxf由此得.],[上一致连续在所以baf福州大学数学与计算机学院29六.小