伽辽金法

基于加权余量原理的近似计算方法—伽辽金法伽辽金及伽辽金法简介：伽辽金（BorisGalerkin）生于1871年3月4日，卒于1945年7月12日。前苏联工程师、数学家。1915年伽辽金发表了一篇论文，其中提出一种数值分析方法。应用这种方法可以通过方程所对应泛函的变分原理将求解微分方程问题简化成为线性方程组的求解问题。而一个多维（多变量）的线性方程组又可以通过线性代数方法简化，从而达到求解微分方程的目的。伽辽金法通过选取有限多项试探函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。作为一种试探函数选取形式，伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解，仅仅是加权平均满足原方程，并非在每个点上都满足。伽辽金法理论基础：伽辽金法在力学中遵循的是虚功原理和流体力学中的虚功率原理。虚功原理即：对于满足理想约束的刚体体系上作用任何的平衡力系，假设体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移，则主动力在位移上所做的虚功总和恒为零（内虚攻总等于外虚功）。虚功率原理类似于力学中的最小势能原理，流场外力所做的虚功率等于流场内应力及惯性力的虚功率。伽辽金法通常被认为是加权余量法的一种。加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设法使其最小的方法。设控制微分方程为:在V域内（1.1）在S边界上（1.2）式中:L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g——为与未知函数u无关的已知函数域值；u——为问题待求的未知函数。()0Luf()0Bug加权余量法与伽辽金法当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数，一般具有以下形式：（1.3）1niiiuCNNCu式中：——待定系数，也可称为广义坐标；——取自完备函数集的线性无关的基函数。iCiN由于一般只是待求函数u的近似解，因此将式(1.3)代入式(1.1)和式(1.2)后将得不到满足，若记：u()()IBRLufRBug在V域内在S边界上显然反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称做内部和边界余量。IBRR若在域V内引入内部权函数，在边界S上引入边界权函数则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：（1.4）BW0(1,2,,)IiIBiBVSWRdVWRdSin不同的权函数和反映了不同的消除余量的准则，其中伽辽金法为选取尝试函数本身为加权函数，即：此时（1.4）式可表示为：（1.5）IiWBiW___=jIiBiIW______0(1,2,,)jjIBVSWRdVWRdSin此时可以定义的变分为：（1.6）uu1122mmuNaNaNa在多数情况下用伽辽金法得到的求解方程是对称的，所以在用加权余量法建立有限元格式是几乎毫无意外地采用伽辽金法。伽辽金法应用举例：如图所示等截面悬臂梁，受满跨均布荷载作用，求悬臂端B的竖向位移为例，说明基本方法的应用。图示梁的控制方程为：其边界条件为：B440dyEIqdx23230(0)0()dyyxdxdydyxldxdx若取试函数为：不难验证其满足边界条件，也即。而控制方程的内部余量为:此时：消除余量的条件为:由此可得：542332(1426)ycxlxlxlx0BRIR(12024)IREIcxlq54233211426Nxlxlxlx100lINRdx0.00908qCEIl40.1262BqlEI伽辽金法的优点与缺点：优点：用伽辽金法求解时，实际上是放松了问题原来对V内各点都要精确满足平衡微分方程的要求，使问题变成了仅满足平衡微分方程与一个加权函数的乘积在整个物体的定义域V内积分等于零的条件，降低了求解难度。不足：由于在近似求解时，应力分量并不精确满足平衡微分方程，实际上会出现残差，因此，伽辽金法又称为加权残差法。谢谢THANKYOU