2.3.2离散型随机变量的方差(上课用)

2.3.2离散型随机变量的方差高二数学选修2-3一、复习回顾1、离散型随机变量的数学期望nniipxpxpxpxXE2211)(2、数学期望的性质bXaEbaXE)()(P1xix2x······1p2pip······nxnpX数学期望是反映离散型随机变量的平均水平3、如果随机变量X服从两点分布为X10Pp1－p则()EXp4、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则()EXnp5、如果随机变量X服从超几何分布，即X～H（n,M,N）则NnMXE)(二、探究引入要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为1X1XP56789100.030.090.200.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数的分布列为2X2XP567890.010.050.200.410.33请问应该派哪名同学参赛？1,EX2EX88发现两个均值相等因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.三、新课分析（一）、随机变量的方差（1）分别画出的分布列图.12,XXO5671098P1X0.10.20.30.40.5O56798P2X0.10.20.30.40.5（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？第二名同学的成绩更稳定.1、定性分析某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？104332221111X(二)、互动探索21014102310321041X1234P104103102101某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？1])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10122222222222s])()()[(122212xxxxxxnsni22222)24(101)23(102)22(103)21(104s反映这组数据相对于平均值的集中程度的量离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipXExpXExpXExXD22121))(())(())(()(则称为随机变量X的方差。niiipXEx12))((P1xix2x······1p2pip······nxnpX称)()(XDX为随机变量X的标准差。它们都是反映离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小（或说离散程度），它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。3、对方差的几点说明（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.三、基础训练1、已知随机变量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求D(X)和σ(X)。()00.110.220.430.240.12EX解：22222()(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.11.2DX095.12.1)()(XDX2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求E（X）和D（X）。解：XcP1离散型随机变量X的分布列为：E（X）＝c×1＝cD（X）＝（c－c）2×1＝0例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的方差是多少？X=1或X=0X10P0.70.3()10.700.30.7EX四、例题讲解21.03.07.03.07.07.03.03.0)7.00(7.0)7.01()(2222XD一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么D(X)=？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Ppq则小结：pqqppXD22)0(p)1()(pqqppXD22)0(p)1()(如果X~B（n，p），那么D（X）=？一般地,如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则小结：)1)(pqnpqXD（练一练:一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球次数的方差是.1.2例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望和方差。X0123P027.0解：(1)X～B（3，0.7）189.0441.0343.0(2))(XE)(XD2.10.63例3、设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差D(X).解析：(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列为(2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为E(X)=;D(X)=3133152235CC122133151235CCC21213315135CCCX012P1351235223522121201235353552222222122152012535535535175则D(X)＝)1())((2NNnNMNnM四、方差的实际应用例1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：9,921EXEX8.0,4.021DXDX表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环。问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.49,921EXEX8.0,4.021DXDX甲乙例2：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：1400,140021EXEX1240000,160000DXDX在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。设Y＝aX＋b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量．(1)Y的分布列是什么？(2)E(Y)(3)D(Y)=?思考一：P1xix2x······1p2pip······nxnpXnniipxpxpxpxEX2211bXaE)(五、性质探究P1xix2x······1p2pip······nxnpXYbax1baxibax2······baxnnnpaEXbaxpaEXbaxpEXbaxYD2222121)b()b()ba(）（nnEXxaEXxaEXxap)-(p)-(p)-(2222221212)(2XDa2、方差的性质)()ax(2XDabD)()ax(XabnniipXExpXExpXExXD22121))(())(())(()(思考二：2()(())DXEXEX22()(())EXEX能否改成期望的表达式？若能改成,形式是什么？X012P1351235223517552)(,52)(XDXE相关练习：DD则，且、已知,138131ppnBX,n1.6,D(X)8,E(X)),(2则，～、已知3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求E(X)和D(X)。117100.82，1.98六、课堂小结1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义2、记住几个常见公式DXabaXD2)()1(ppDXX服从两点分布，则若)1(),(~pnpDXpnBX，则若若X~H(n,M,N)则D(X)＝)1())((2NNnNMNnM2()(())DXEXEX22()(())EXEX编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.分析（1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X013P解（1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列为(2)E(X)=D(X)=33213A133312CA33116A13121611101313262221110111311326(14分)（2008·广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为ξ.(1)求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？分析求ξ的分布列时，要先求ξ取各值时的概率.解（1）ξ的所有可能取值有6,2,1,-2……………………1′P(ξ=6)==0.63,…………………………………..2′P(ξ=2)==0.25,…………………………………..3′P(ξ=1)==0.1,…………………………………4′P(ξ=-2)=…………………………………..5′故ξ的分布列为……………………………………………………………………7′1260.63200500.25200200.120040.02200ξ621-2p0.630.250.10.02(2)E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34………………………………………………………………..9′(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(ξ)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29)……………………………………….12′依题意，E(ξ)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03……13′所以三等品率最多为3%..............................14′学后反思本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问