高考理科数学一轮复习 第二章 第4讲 函数的单调性与最值

第4讲函数的单调性与最值1．函数的单调性定义f(x1)f(x2)单调增区间设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1x2时，都有y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的，那么就说；如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1x2时，都有，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的．f(x1)f(x2)单调减区间2．用导数的语言来讲函数的单调性设函数y＝f(x)，如果在某区间I上间I上的增函数；如果在某区间I上，那么f(x)为区，那么f(x)为区间I上的减函数．f′(x)0f′(x)03．函数的最大(小)值设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A,有恒成立，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大恒值；如果存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有成立，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值．f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)(x∈R)的值域是(1．已知函数f(x)的值域是[－2,3]，则函数f(x－2)的值域为()DA．[－4,1]C．[－4,1]∪[0,5]B．[0,5]D．[－2,3]2．函数f(x)＝11＋x2)BA．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1])D3．函数y＝x2－6x的减区间是(A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]4．二次函数f(x)＝x2＋2ax＋b在区间(－∞，4)上是减函数，你能确定的是()CA．a≤4B．a≥－2C．a≤－4D．b≤－25．已知f(x)＝3xx－3，x∈[4,6]．则f(x)的最大值与最小值分别为.12,6考点1判断函数的单调性(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．例1：已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数；当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)方法一：设x2x1≥2，[x1x2(x1＋x2)－a]，＝x1－x2x1x2由x2x1≥2得x1x2(x1＋x2)16，x1－x20，x1x20.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)0，即x1x2(x1＋x2)－a0恒成立，则a≤16.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．方法二：利用导数法，f′(x)＝2x－ax2，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－ax2≥0，【互动探究】1．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)(x1＋2)(x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(1)证明：任设x1＜x2＜－2，(3)y＝2(5)y＝x＋.(2)解：任设1＜x1＜x2，则考点2函数的最值与值域例2：求下列函数的值域：(1)y＝3x＋2x－2；(2)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；x2－xx－x＋1；(4)y＝x＋2x－1；4xf(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a).∵a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，∴a≤1.综上所述知0＜a≤1.x－x＋1≠0，∴y≠3.解题思路：关于x的一次分式函数，这种题目可通过求关于x的方程在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)，观察得出结果；有理分式函数，去分母化成关于x的二次方程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成A＋B2(A、B是常数)的形式来求值域；用换元法将无理函数化为有理函数或将已知等式化成关于x的二次方程，用判别式求函数的值域．解析：(1)方法一：y＝3x＋2x－2＝(3x－6)＋8＝3＋x－28x－2，由于8x－2(3)方法一：y＝2＝1－2x－x＋1∴函数y＝3x＋2x－2的值域是{y|y∈R且y≠3}．3x＋2方法二：由y＝，得x＝x－22(y＋1)y－3，∴y≠3.(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，∴其图像是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．∴当x＝－5时，ymin＝－12；当x＝－2时，ymax＝3.∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．x2－xx－x＋11.∵x2－x＋1＝x－122＋34，∴－13≤1－1x2－x＋11，即－13≤y1，故值域为－13，1.方法二：去分母，整理得(y－1)x2－(y－1)x＋y＝0.易知y≠1，故上式可看作是关于x的二次方程，∵x∈R，∴方程有实根，∴Δ＝(y－1)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.又y≠1，故值域为－13，1(4)设u＝2x－1x≥12，则x＝1＋u22(u≥0)，∴y＝1＋u22＋u＝(u＋1)22(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥12，∴函数y＝x＋2x－1的值域为12，＋∞.(5)方法一：函数y＝x＋4x是定义域为{x|x≠0}的奇函数，故其图像关于原点对称，故只讨论x＞0时的最值，即可知x＜0时的最值．当x＞0时，y＝x＋4x≥2x·4x＝4，等号当且仅当x＝2时取得．当x＜0时，y≤－4，等号当且仅当x＝－2时取得．综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．方法二：任取x1、x2，且x1＜x2，∵f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2＋4x2＝(x1－x2)(x1x2－4)x1x2，∴当x≤－2或x≥2时，f(x)递增，当－2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减．ax＋b故x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4.∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(4)反函数法：适用于形如y＝cx＋d类的函数．常用的求值域的方法有：(1)代入法：适用于定义域为有限集的函数．(2)分离系数法：若函数y＝f(x)解析式中含有|x|，x2，，sinx，cosx等元素，又能用y表示出来，则利用这些元素的有界性解出y的范围．(3)配方法：适用于二次函数类的函数．xmx＋nx＋p(3)y＝2(5)判别式法：适用于形如y＝ax2＋bx＋c2类的函数．(6)换元法：主要处理一些根式类的函数．(7)不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最值．(8)最值法：通过求导求出最值．【互动探究】2．求下列函数的值域：(1)y＝3x＋25－4x；(2)y＝－x2＋x＋2；3x2－1x＋2.解：(1)y＝3x＋25－4x＝14×12x＋85－4x＝14×3(4x－5)＋235－4x＝－34＋234(5－4x)，所以值域为yy≠－34.(2)y＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94.所以值域是－∞，94.(3)由y＝3x2－1x2＋2可知，x∈R且(3－y)x2＝2y＋1.若y＝3，则有0＝7，这是不可能的．∴y≠3，得：x2＝2y＋13－y.∵x2≥0，∴2y＋13－y≥0.解得：－12≤y＜3.∴函数值域为y∈－12，3.考点3借助于导数判断函数的单调性解题思路：可用分离参数的方法，再结合不等式恒成立知识求解；也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所求区间的子区间知识求解．例3：：若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．解析：函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，－1)上为增函数，在(1，a－1)内为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．依题意应有：当x∈(1,4)时，f′(x)＜0；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0.所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7，所以a的取值范围是[5,7]．在研究函数的单调性时，当函数解析式中既含有指数函数、对数函数、又含有二次或三次函数，定义法判断单调性较为困难，用导数来研究较为方便．本题关键之处在于就变量系数值进行分类讨论．【互动探究】3．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()DA．(－3,0)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：当x0时，[f(x)g(x)]′0，所以函数f(x)g(x)在(－∞，0)上为增函数．又f(x)g(x)为奇函数，∴f(x)g(x)在(0，＋∞)上为增函数．且f(－3)g(－3)＝0，f(3)g(3)＝0，故f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．错源：没有考虑定义域误解分析：(1)忽略x需满足4x－x20这个条件；(2)对复合函数单调性的判断出错．例4：求函数y＝12log(4x－x2)的单调区间．正解：由4x－x2＞0，得函数的定义域是(0,4)．令t＝4x－x2，则y＝log12t.∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，∴t＝4x－x2的单调减区间是[2,4)，增区间是(0,2]．又y＝log12t在(0，＋∞)上是减函数，∴函数y＝log12(4x－x2)的单调减区间是(0,2]，单调增区间是[2,4)．【互动探究】4．(2014届兰州一中考试)函数：①y＝x·sinx；②y＝x·cosx；③y＝x·|cosx|；④y＝x·2x的图像(部)如图2－4－1，但顺序被打乱，)C照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是(图2－4－1则按A．④①②③B．①④③②C．①④②③D．③④②①f(mx)＋mf(x)0恒成立，则实数m的取值范围是__________________．例5：(2010年天津)设函数f(x)＝x－1x，对任意x∈[1，＋∞)，解析：已知f(x)为增函数且m≠0，若m＞0，由复合函数的单调性可知f(mx)和mf(x)均为增函数，此时不符合题意．当m＜0时，有mx－1mx＋mx－mx0⇒2mx－m＋1m·1x0⇒1＋1m22x2.因为y＝2x2在x∈[1，＋∞)上的最小值为2，所以1＋1m22，即m2＞1，解得m＜－1.本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解，属于难题．求函数值域的常用方法：有配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．1．(2013年佛山调研)已知函数f(x)＝ax〓〓〓〓〓(x0)(a－3)x＋4a(x≥0)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x20成立，则a的取值范围是0，14.2．(2010年天津)设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈23，＋∞，fxm－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是.m≤－32或m≥32解：依据题意得x2m2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈32，∞上恒成立，即1m2－4m2≤－3x2－2x＋1在x∈32，＋∞上恒成立．当x＝32时函数y＝－3