§5.4.1分式方程教学设计

北师大版八年级数学下册--第五章分式与分式方程--第4节分式方程（第1课时）§5.4.1分式方程教学设计陕西省宝鸡市麦禾营初级中学张妮总体说明本节共有三个课时,分别是认识分式方程，求解分式方程，分式方程的实际应用。知识链层层递进，由浅入深。是“实际问题——建立分式方程模型——求解分式方程——解释解的合理性”的过程。在本节之前，认识了分式方程及分式方程有意义，值为零，值为正或负的条件，分式的乘除，分式的加减，为后面解分式方程打下了扎实的基础。一、学生分析：学生的知识技能基础：我班学生能比较熟练地解一元一次方程；已学过分式的定义；了解分式有意义的条件；能利用分式的基本性质进行简单约分通分；但是对知识的运用还不够熟练，知识基础稍弱一些。学生活动经验基础：八年级的学生已经具备了一定的自主探究能力和分析问题的能力，并对发现新问题以及寻求解决办法有相当的兴趣和积极的愿望．但在实际操作时，容易出现各种小的失误，自我操作自信心不足，相同错误多次出现，改正进程较缓。二、教材分析：本节课是北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程的第四节分式方程的第一课时，属于“数与代数”中的“方程”，本节课是在学习前三节课的基础上，运用数学符号表示数量关系，通过类比整式方程的概念，归纳总结出分式方程的描述性概念，通过列分式方程，了解数学模型在实际生活中的应用，为后续内容的学习奠定了重要的理论基础。学习时要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力，鼓励学生从多角度思考问题。对于常用的数量关系，虽然学生以前大都接触过，但在本节的教学中仍要注意复习、总结，并抓住用两个已知量表示第三个量的表达式，引导学生举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力。三、教学目标：1．能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。2.了解分式方程与整式方程的区别。3．在建立分式方程的数学模型的过程中培养分析问题的能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力。教学重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义．教学难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程．教学环节：本节课有如下几个教学环节:新课引入—归纳剖析概念—能力提升—分层拓展—反思小结—作业巩固教学过程：一、情境引入：活动一：众所周知，我国的高速铁路在最近几年有了极大的发展，中国铁路在高速动车组，高速铁路基础设施建造技术和既有线提速技术等方面都达到了世界先进水平，这些成就都值得我们自豪。下面，我们通过一个与高铁相关的例题，看看我们今天的学习内容。引例：甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．（1）这一问题中的等量关系藏在哪里？有哪些？等量关系：乘特快列车所用时间-乘高铁列车所用时间=9高铁列车速度=2.8×特快列车速度暗含等量关系：路程=速度×时间（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么高铁列车的速度可表示为(2.8x)(填空),由已知甲、乙两地相距1400km，再根据路程=速度×时间，则时间=（路程÷速度），可以将乘高铁所用时间表示为（1400／2.8x），乘特快列车所用时间表示为（1400／x）。那么，你能列出方程了吗（只列方程不计算）？1400140092.8xx（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，则乘特快列车所用时间可以表示为（y+9），高铁列车的速度可以表示为（1400／y），特快列车速度可表示为（1400／y+9），那么根据两种列车速度之间的关系，你能列出怎样的方程（只列方程不计算）？140014002.89yy活动目的：再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，设置了这么一个例题，关键是引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。注意事项：①立足学生的实际能力，适当降低题目的难度，将问题的分析过程以填空的形式一一表示出来，借助等量关系，顺其自然的列出方程。让学生积极投身于问题情景中，通过同学之间相互讨论，解决问题，同时要注意引导学生理解每一步的实际意义。②学生可能得到的等量关系形式与以上形式不一样，是由以上等式恒等变形而来，对于书写正确的学生，都要充分肯定，以增强学生独立探索的自信心。方法总结：题目中有两个明显等量关系，用一个设未知数，用另一个来列方程，用暗含的等量关系把“设”与“列”串连起来。二、知识归纳：活动二：观察上面我们得到的两个方程：1400140092.8xx，140014002.89yy它们和我们以前所碰到的方程一样吗？我们以前学过哪些方程呢？有什么不一样的地方？（一元一次方程，二元一次方程，二元一次方程组。若学生回答不全，老师补充。以前所学的方程中分母都不含未知数，他们都是整式方程。）上面所得到的方程有什么共同特点？（分母种都含未知数）这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程：分母中含有未知数的方程。分式方程重要特征：（1）含分母（2）分母中含未知数分式方程与整式方程的区别：分式方程中分母含有未知数，而整式方程中的分母不含有未知数。活动目的：通过让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同，从而得出分式方程的概念。注意事项：注意引导学生理解分式方程重要特征，分清分式方程与整式方程的区别，活动三：通过例题进一步认识分式方程。例1找找看,下列各式哪些是分式方程：（1）1(3)2xx（2）112x（3）1312xxx（4）123xx182xx（5）(1)(1)21xxx（6）(判断依据：分母中含有未知数的等式；不约分，判断原分式形式)（故（2）（3）（6）为分式方程)例2下列方程中，关于x的分式方程个数有（）212(1)4023xx(2)4xa(3)4ax29(4)13xx1(5)62x11(6)2xxaaA.2B.3C.4D.5（既然是关于x的分式方程，则未知数只有x，其余字母均作为常数）（故有（3）（4）（5）三个是分式方程，所以选B）活动目的：通过例题的分析及判断，加深对分式方程的认识，强调分式方程特征，使学生能准确清晰掌握本节课的要点。方法总结：①分式方程是分母中含有未知数的等式，含等号，并且等号左右两端均有代数式。②判断方程是否是分式方程时，不能约分化简，直接判断题目给定的方程。③对于“关于某个未知数（以字母表示）的分式方程”，除此未知数字母外，其余字母均当做常量，分母中含有该未知数字母时就算做分式方程，含有其余字母而不含未知数字母时，不能算作分式方程。三、能力提升：活动四：深入认识分式方程后，利用方程模型解决实际生活中的问题。为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？（只列方程不计算）等量关系：①七年级捐款人数+20=八年级捐款人数②七年级人均捐款额=八年级人均捐款额暗含等量关系：总额=人数×人均捐款额解：设七年级捐款人数为x人，则八年级捐款人数为（x+20）人，根据题意列方程得：4800500020xx活动目的：再次让学生经历从实际问题抽象、概括出分式方程这一“数学化”的建模过程，体会分式方程的模型作用。注意事项：此时，学生有了一定的找等量关系的感觉，先让他们自己完成，再小组讨论，对等量关系式的用法不同，可列的分式方程也不同，教学过程中要充分肯定得出不同结论的学生，使其情感方面得到满足，获得更多的学习信心。四、分层拓展（选做）：活动五：（只列方程）根据学生的接受掌握能力和剩余时间的多少，可让部分学有余力的学生完成分层拓展题。拓展１在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题。面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务。原计划每月固沙造林多少公顷？拓展２王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原定是x人，那么x满足怎样的分式方程?拓展３自从在龟兔赛跑中大胜兔子后，乌龟便成了体育界的名人，又是广告，又是讲演，活动不断．可蚂蚁偏偏不服气，向乌龟下了挑战书，我们来看：乌龟先生：本月19日上午8：00时整，我与你进行长跑比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距6米的大柳树下，比赛枪声响后，先到者是冠军．蚂蚁4月16日比赛结束后，蚂蚁并没有取胜．已知乌龟每分钟跑的米数是蚂蚁跑的１.２倍，乌龟提前1分钟跑到，请你算算他们各自的速度．五、课时小结：活动六：活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？活动目的：通过学生的回顾与反思，让学生感受到在实际问题中，一定要找到它的等量关系，根据等量关系来列方程。注意事项：小节最好由同学们讨论，教师只是顺势把学生的话进行一个归纳总结。关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力，关注学生能否尝试用不同方法寻求问题中数量关系，并用分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程。六、作业布置：A组：习题5.71.2.3+选做题中选一道题B组：习题5.71.2.3七、板书设计：§5.4.1分式方程1400140092.8xx，140014002.89yy，4800500020xx一．分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。二．分式方程的几点说明：①分式方程是分母中含有未知数的等式，含等号，并且等号左右两端均有代数式。②判断方程是否是分式方程时，不能约分化简，直接判断题目给定的方程。③对于“关于某个未知数（以字母表示）的分式方程”，除此未知数字母外，其余字母均当做常量，分母中含有该未知数字母时就算做分式方程，含有其余字母而不含未知数字母时，不能算作分式方程。三．解分式方程应用题的关键：找出题目中明确的两个等量关系和一个暗含的等量关系，合理的设未知数，顺利列出分式方程。八、教学后记：本节课的设计紧扣教材，通过循序渐进的引导，使学生了解到分式方程可以用来解决实际生活中的问题，有很强的实用性，进而有兴趣进一步深入学习认识分式方程，并有意识的在解题过程中建立分式方程数学模型，使问题的解决过程条理化，模型化，降低问题难度的同时也提高了学生的分析问题和解决问题的能力，增强了学习的自信心。进行分层教学，优化教学效果，使不同层次的学生都能够有所提高。本节课在教学过程中也渗透了类比的教学思想，数学建模思想，为学生获得系统的学习能力奠定了基础。