离散数学 图论-图的基本概念

图论图的基本概念七座桥所有的走法一共有7！=5040种。1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新分支---图论。图论在许多应用领域中：地图导航、网络技术研究及程序流程分析都会遇到由“结点”和“边”组成的图在计算机许多学科中如：数据结构、操作系统、网络理论、信息的组织与检索均离不开由这种“结点”和“边”组成的图以及图的特殊形式--树。图与树是建立和处理离散对象及其关系重要工具。如地图导航、周游问题、图像分割等等。一、图的概念1、无序积定义：设A，B为任意的两个集合，称｛｛a，b｝┃a∈A∧b∈B｝为A与B的无序积，记作A&B其元素｛a，b｝可简记为（a，b）2、图的定义1）定义1一个无向图是一个有序的二元组V，E，记作G，其中(1)V≠ø称为顶点集，其元素称为顶点或结点．(2)E称为边集，它是无序积V＆V的多重子集，其元素称为无向边，简称为边．例：无向图G=V，E其中顶点集合V＝｛v1,v2,v3,v4｝边集合E＝｛(v1,v2),(v2,v3),(v3,v2),(v3,v1),(v2,v2),(v2,v2),(v1,v2),｝园括号表示无向边有平行边2）定义2一个有向图是一个有序的二元组V，E，记作D，其中(1)V≠ø称为顶点集，其元素称为顶点或结点．(2)E为边集，它是笛卡儿积VⅹV的有穷多重子集，其元素称为有向边，简称边(弧)．有向图D=V,E其中V＝｛v1,v2,v3｝边集合E＝｛v1,v2,v2,v1,v2,v1,v2,v3,v3,v3v3,v3｝（与前面的关系的图表示相当）3、有关图的术语1）用G表示无向图，D表示有向图。有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集。2）用|V(G)|，|E(G)|分别表示G的顶点数和边数若｜V(G)｜＝n，则称G为n阶图。对有向图有相同定义。3）在图G中，若边集E(G)＝ø，则称G为零图若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别是称N1为平凡图4）在用图形表示一个图时，若给每个结点和每一条边均指定一个符号（字母或数字），则称这样的图为标定图。5)常用ek表示边(vi，vj)(或vi，vj)设G＝V，E为无向图，ek=(vi，vj)∈E，则称vi，vj为ek的端点，ek与vi、vj是彼此相关联的．起、终点相同的边称为环不与任何边关联的结点称为孤立点（包括有向图)6）邻接：边的相邻：ek，el∈E．若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的顶点的相邻：若∃et∈E，使得et=vi，vj，则称vi为et的始点，vj为et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi两个结点为一条边的端点，则称两个结点互为邻接点，也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。7）平行边：在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数．在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且它们的方向相同，则称这些边为平行边．8）多重图和简单图：含平行边的图称为多重图既不含平行边也不含环的图称为简单图．（主要讨论简单图）4、结点的度1)定义4设G＝V，E为无向图，∀v∈V，称v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度，记作dG(v)，简记为d(v)，即为：结点v所关联的边的总条数关于有向图D＝V，E有：∀v∈V，称v作为边的始点的次数之和为v的出度，记作d+(v)，称v作为边的终点的次数之和为v的入度，记作d-(v)称d+(v)+d-(v)为v的度数，记作dD(v).2)称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边根据结点的度数可将结点分为：度为偶数(奇数)的顶点称为偶度顶点(奇度顶点).一个环提供的度为2（有向图的环提供入度1和出度1）3）定义：(G)=max{d(v)|v∈V(G)}为图G中结点最大的度δ(G)=min{d(v)|v∈V(G)}为图G中结点最小的度简记为、δ定义：－(D)=max{d－(v)|v∈V(D)}为图D中结点最大的入度＋(D)=max{d＋(v)|v∈V(D)}为图D中结点最大的出度δ-(D)=min{d－(v)|v∈V(D)}为图D中结点最小的入度δ＋(D)=min{d＋(v)|v∈V(D)}为图D中结点最小的出度5、握手定理（欧拉）1)定理1设G＝V,E为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜=m，则∑d(vi)＝2m(所有结点的度数值和为边数的2倍)证:G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度2)定理2设D＝V,E为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E|=m，则∑d+(vi)=∑d-(vi)=m．且∑d(vi)＝2m3)推论任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数个4)结点的度数序列(1)设G＝V，E为一个n阶无向图，V＝{v1，v2，…，vn}称d(v1)，d(v2)，…，d(vn)为G的度数列注：由推论可知，不是任何一个非负整数序列均可作为一个图的度数列。条件：奇度数的结点个数应该是偶数个（2）序列的可图化：对一个整数序列d=(d1,d2,…dn),若存在以n个顶点的n阶无向图G，有d(vi)=di，称该序列是可图化的。特别的，如果得到的是简单图，称该序列是可简单图化的。（3）定理设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当且仅当∑di是偶数(序列之和必须是偶数)（4）由于简单图中没有平行边及环定理：设G为任意n阶无向简单图，则(G)=n-1。每个结点至多与其他n-1个结点相邻例：给定5个序列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？d1=（5,5,4,4,2,1）d2=（5,4,3,2,2）d3=（d1,d2,…dn）其中d1d2…dn=1且Σdi=偶数d4=（3,3,3,1）分析d5=（4,4,3,3,2,2）二、图的同构定义：设G1＝Vl，E1，G2=V2，E2为两个无向图(有向图)，若存在双射函数f：V1→V2对于∀vi，vjV1，(vi，vj)E1当且仅当(f(vi),f(vj))E2并且(vi，vj)与(f(vi),f(vj))的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作Gl≅G2。对有向图有相同的定义。定义说明了:两个图的各结点之间，如果存在着一一对应关系f这种对应关系又保持了结点间的邻接关系，那么这两个图就是同构的在有向图的情况下，f不但应该保持结点间的邻接关系，还应该保持边的方向。结点数相同边数相同结点的度相同但是两个图不同构注：1)两个图同构的必要条件阶数相同（顶点）边数相同度数相同的顶点数相同同构的必要条件，并不是充分条件2)图之间的同构关系可看成全体图集合上的二元关系。具有自反性，对称性和传递性，是等价关系。同构的图为一个等价类，在同构的意义之下都可以看成是一个图。例(1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图．结点个数与边数相同，只需找出顶点度数序列不同的图（23＝6）如何将度数6分配给4个结点：1113相应的图22112220例(2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图结点个数与边数相同，只需找出顶点度（出度及入度）数序列不同的图结点总度数：2＊2＝4度数分配121按出度与入度分配：入度列110出度列011入度列020出度列101入度列101出度列020度数分配220按出度与入度分配：入度列110出度列110这只是对较为简单的情况给出的非同构图，对于一般的情况（n,m)图到目前为止还没有解决三、特殊图－完全图与正则图1)完全图定义设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n—1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作Kn(n≥1)．设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余的n—1个顶点，又邻接于其余的n—1个顶点，则称D是n阶有向完全图．可画图表示（无向图5阶、有向图3阶和4阶）2)完全图的性质：n阶无向完全图G的边数与结点的关系m=n(n-1)/2n阶有向完全图G的边数与结点的关系m=n(n-1)23)正则图定义设G为n阶无向简单图，若∀v∈V(G)，均有d(v)＝k则称G为k-正则图k-正则图的边数与结点个数的关系：m=kn/2如：3-正则图四、子图、生成子图、导出子图1、定义设G＝V，E，G‘＝V’，E’为两个图(同为无向图或有向图)若V’⊆V且E’⊆E，则称G‘是G的子图，G为G‘的母图，记作G’⊆G，又若V‘⊂V或E’⊂E，则称G‘为G的真子图若V’＝V（且E’⊆E），则称G‘为G的生成子图(全部顶点)2、设G＝V，E为图，V1⊂V且V1≠ø，称以V1为顶点集，以G中两个端点都在V1中的边组成边集E1的图为G的V1导出的子图，记作G[V1]．可画图表示G及G［V1］（P279图14.5）结点导出的子图又设E1⊂E且E1≠ø，称以E1为边集，以E1中边关联的顶点为顶点集V1的图为G的E1导出的子图，记作G[E1]．3、补图1）定义设G＝V，E为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作𝑮2）性质：设G是n阶k-正则图，证明G的补图𝑮也是正则图对图中任何结点v的度有dG(v)+d𝑮(v)=dKn(v)=n-1d𝑮(v)=n-1-dG(v)＝n-1-k=n-(k+1）3）自补图：若图G≌𝑮(同构)则称G为自补图。