搜索
第23课时解直角三角形的应用第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦考点聚焦归类探究回归教材考点解直角三角形的应用常用知识1．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．2．俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角．3．坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________．4．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面越陡．5．方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．h∶l命题角度：1．计算某些建筑物的高度(或宽度)；2．将实际问题转化为直角三角形问题．探究一利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题归类探究第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材例1如图23－1，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离塑像2.7米的A处自点B看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度(最后结果精确到0.1米，参考数据：3＝1.7)．图23－1第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材解：过点B作BE⊥DC于点E.因为BA⊥AF，DF⊥AF，所以四边形ABEF为矩形，BE＝AF＝2.7米．在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，根据tan30°＝CEBE＝CE2.7，解得CE＝1.53米．同理可求得DE＝2.7米，DC＝DE－CE＝2.7－1.53≈1.2(米)．答：塑像CD的高度约为1.2米．第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材基本图形解直角三角形应用的基本图形在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形的知识来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：①不同地点看同一点；图23－2第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材②同一地点看不同点；图23－3③利用反射构造相似．图23－4命题角度：1．利用直角三角形解决方位角问题；2．将实际问题转化为直角三角形问题．探究二利用直角三角形解决航海问题第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材例2[2014·南充]马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息．如图23－5，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；(2)若救助船A，B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．图23－5第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材解：(1)如图，过点P作PH⊥AB于点H，则PH的长是可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离．根据题意，得∠PAH＝90°－53.5°＝36.5°，∠PBH＝45°，AB＝140海里．设PH＝x海里，在Rt△PHB中，tan45°＝xBH，∴BH＝x.在Rt△PHA中，tan36.5°＝xAH，∴AH＝xtan36.5＝43x.∵AB＝140，∴43x＋x＝140，解得x＝60，即PH＝60海里．答：可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离为60海里．第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材(2)在Rt△PHA中，AH＝43×60＝80(海里)，PA＝602＋802＝100(海里)，救助船A到达P处的时间tA＝100÷40＝2.5(时)；在Rt△PHB中，PB＝602＋602＝602(海里)，救助船B到达P处的时间tB＝602÷30＝22(时)．∵2.522，∴救助船A先到达P处．命题角度：1．利用直角三角形解决坡度问题；2．将实际问题转化为直角三角形问题．探究三利用直角三角形解决坡度问题第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材例3[2014·巴中]如图23－6，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)．图23－6第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材解：如图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F.由题意可知BE＝CF＝20米，BC＝EF＝6米，∠D＝30°.在Rt△ABE中，i＝BEAE＝12.5，即20AE＝12.5，∴AE＝50米．在Rt△CDF中，tan30°＝CFDF，即20DF＝33，∴DF＝20×33≈34.64米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋34.64≈90.6(米).回归教材第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材热气球测楼高教材母题——人教版九下P75例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高(结果取整数)?图23－7第23课时┃解直角三角形的应用解析我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，α＝30°，β＝60°.在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC.考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材解：α＝30°，β＝60°，AD＝120.∵tanα＝BDAD，tanβ＝CDAD，∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×33＝403，CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×3＝1203.∴BC＝BD＋CD＝403＋1203＝1603≈277(m)．答：这栋楼高约为277m.第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材[点析]通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测如图23－8，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的水平距离CD为9m，则旗杆的高度是多少(结果保留根号)?图23－8第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝ADCD，∴AD＝CD·tan30°＝9×33＝33.在Rt△BCD中，∵tan∠BCD＝BDCD，∴BD＝CD·tan45°＝9×1＝9，∴AB＝AD＋BD＝(33＋9)(m)．答：旗杆的高度为(33＋9)m.