高等代数.第四章.矩阵练习试题参考题答案

word格式完美整理可编辑版第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意n阶矩阵A，B，有ABAB.错.2.如果20,A则0A.错.如211,0,011AAA但.3.如果2AAE，则A为可逆矩阵.正确.2()AAEAEAE，因此A可逆，且1AAE.4.设,AB都是n阶非零矩阵，且0AB，则,AB的秩一个等于n，一个小于n.错.由0AB可得()()rArBn.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.5．CBA,,为n阶方阵，若,ACAB则.CB错.如112132,,112132ABC，有,ACAB但BC.6．A为nm矩阵，若,)(sAr则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使.000sIPAQ正确.右边为矩阵A的等价标准形，矩阵A等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则*A也可逆.正确.由A可逆可得||0A，又**||AAAAAE.因此*A也可逆，且11(*)||AAA.word格式完美整理可编辑版8．设BA,为n阶可逆矩阵，则.**)*(ABAB正确.*()()||||||.ABABABEABE又()(**)(*)*||*||*||||ABBAABBAABEABAAABE.因此()()*()(**)ABABABBA.由BA,为n阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘式AB的逆可得.**)*(ABAB二、选择题1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵()TBB,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B）.(A)ABBA(B)ABBA(C)2()AB(D)BAB(A)(D)为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（C）当,AB可交换时为对称矩阵.2.设A是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)TAA(B)TAA(C)2A(D)TAA3．以下结论不正确的是（C）.(A)如果A是上三角矩阵，则2A也是上三角矩阵；(B)如果A是对称矩阵，则2A也是对称矩阵；(C)如果A是反对称矩阵，则2A也是反对称矩阵；(D)如果A是对角阵，则2A也是对角阵.4．A是mk矩阵,B是kt矩阵,若B的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（B）(A)AB的第j行元素全等于零；(B)AB的第j列元素全等于零；(C)BA的第j行元素全等于零；(D)BA的第j列元素全等于零；word格式完美整理可编辑版5．设,AB为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（D）(A)222()2ABAABB(B)22()()ABABAB(C)222()ABAB(D)22()()AEAEAE6．下列命题正确的是（B）.(A)若ABAC，则BC(B)若ABAC，且0A，则BC(C)若ABAC，且0A，则BC(D)若ABAC，且0,0BC，则BC7.A是mn矩阵，B是nm矩阵，则（B）.(A)当mn时，必有行列式0AB；(B)当mn时，必有行列式0AB(C)当nm时，必有行列式0AB；(D)当nm时，必有行列式0AB.AB为m阶方阵，当mn时，(),(),rAnrBn因此()rABnm，所以0AB.8．以下结论正确的是（C）(A)如果矩阵A的行列式0A,则0A；(B)如果矩阵A满足20A，则0A；(C)n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；(D)对任意方阵,AB，有22()()ABABAB9．设1234,,,是非零的四维列向量，1234(,,,),*AA为A的伴随矩阵，已知0Ax的基础解系为(1,0,2,0)T，则方程组*0Ax的基础解系为（C）.（A）123,,.（B）122331,,.word格式完美整理可编辑版（C）234,,.（D）12233441,,,.由0Ax的基础解系为(1,0,2,0)T可得12341310(,,,)0,2020.因此（A），（B）中向量组均为线性相关的，而（D）显然为线性相关的，因此答案为（C）.由12341234**(,,,)(*,*,*,*)AAAAAAAO可得12,,34,均为*0Ax的解.10.设A是n阶矩阵，A适合下列条件（C）时，nIA必是可逆矩阵(A)nAA(B)A是可逆矩阵(C)0nA(B)A主对角线上的元素全为零11．n阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（D）(A)1A(B)0A(C)TAA(D)0A12．,,ABC均是n阶矩阵，下列命题正确的是（A）(A)若A是可逆矩阵，则从ABAC可推出BACA(B)若A是可逆矩阵，则必有ABBA(C)若0A，则从ABAC可推出BC(D)若BC，则必有ABAC13．,,ABC均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABCE，则有（C）(A)ACBE（B）BACE（C）BCAE(D)CBAE14．A是n阶方阵，*A是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（D）(A)若A是可逆矩阵，则*A也是可逆矩阵；(B)若A是不可逆矩阵，则*A也是不可逆矩阵；word格式完美整理可编辑版(C)若*0A，则A是可逆矩阵；（Ｄ）*.AAA*.nAAAEA15．设A是5阶方阵，且0A，则*A（Ｄ）(A)A(B)2A(C)3A(D)4A16．设*A是()ijnnAa的伴随阵，则*AA中位于(,)ij的元素为（Ｂ）(A)1njkkikaA(B)1nkjkikaA(C)1njkikkaA(D)1nkikjkaA应为A的第i列元素的代数余子式与A的第j列元素对应乘积和.17.设1111nnnnaaAaa,1111nnnnAABAA,其中ijA是ija的代数余子式，则（C）(A)A是B的伴随(B)B是A的伴随(C)B是A的伴随(D)以上结论都不对18．设,AB为方阵，分块对角阵00ACB,则*C(Ｃ)(A)**00ACB(B)**00AACBB(C)**00BACAB(D)**00ABACABB利用*||CCCE验证.19．已知46135,12246AB，下列运算可行的是（C）(A)AB(B)AB(C)AB(D)ABBAword格式完美整理可编辑版20．设,AB是两个mn矩阵，C是n阶矩阵，那么（D）(A)()CABCACB(B)()TTTTABCACBC(C)()TTTCABCACB(D)()ABCACBC21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足ABBA，那么B是一个（Ｃ）(A)对称阵(B)对角阵(C)数量矩阵(D)A的逆矩阵与任意一个n阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且0A，那么A的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（B）只有一个为零（C）至少有一个为零（D）可能有零，也可能没有零23．设1320A，则1A（D）(A)1021136（B）1031136（C）1031126（D）102113624．设111222333abcAabcabc，若111222333222acbAPacbacb，则P（B）(A)100001020（B）100002010（C）001020100（D）200001010word格式完美整理可编辑版25．设(3)nn阶矩阵1111aaaaaaAaaaaaa，若矩阵A的秩为1，则a必为（A）(A)1（B）-1（C）11n（D）11n矩阵A的任意两行成比例.26.设,AB为两个n阶矩阵,现有四个命题:①若,AB为等价矩阵,则,AB的行向量组等价;②若,AB的行列式相等,即||||,AB则,AB为等价矩阵;③若0Ax与0Bx均只有零解,则,AB为等价矩阵;④若,AB为相似矩阵,则0Ax与0Bx解空间的维数相同.以上命题中正确的是(D)(A)①,③.(B)②,④.(C)②,③.(D)③,④.当APPB1时，,AB为相似矩阵。相似矩阵的秩相等。齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。三、填空题1．设A为三阶方阵，*A为A的伴随矩阵，有2A，则11()2*3AA11*||2AAAA，111()33AA，因此11111311()2*34(1)32AAAAAA.2．设,AB为4阶方阵，且3A，则1(3)A1/27,21BAB9。3．设A是一个mn矩阵，B是一个ns矩阵，那么是()'AB一个sm阶矩阵，它的word格式完美整理可编辑版第i行第j列元素为1njkkikab.4.n阶矩阵A可逆A非退化||0AA与单位矩阵等价A可以表示为一系列初等矩阵的乘积.4.三阶对角矩阵000000aAbc，则A的伴随矩阵*A=000000bcacab.5．设123023003A，则*1()A16A.1(*)||AAA6．设0,1,2,iain，矩阵121000000000000nnaaaa的逆矩阵为1111211000000000000nnaaaa.7．设,AB都是可逆矩阵，矩阵00ACB的逆矩阵为1100BA.8．设121331,,342424ABC，则(2)BAC（）．9．A既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A为零矩阵.word格式完美整理可编辑版10．设方阵111222333bxcAbxcbxc，111222333bycBbycbyc，且2,3AB则行列式AB4.11111111111111222222222222223333333333333311111122222233333322||22422444(2)434.bxcbycbxycbxycABbxcbycbxycbxycbxcbycbxycbxycbxcbycbxcbycbxcbyc11．设A为m阶方阵，B为n阶方阵，已知,AaBb，则行列式00ABabmn)1(.将A的各列依次与B的各列交换，共需要交换mn次，化为00AB12．设A为n阶方阵，且0A，则在A等价关系下的标准形为n阶单位矩阵.13.设12221311Aa（a为某常数），B为43的非零矩阵，且0BA，则矩阵B的秩为1.由0BA可得A的各列为齐次线性方程组0Bx的解，A的前两列线性无关，因此0Bx的基础解系至少有两个解，因此()1rB.又B为非零矩阵，因此()1rB.即()1.rB四、解答下列各题1．求解矩阵方程(1)25461321X;(2)211113210432111X;word格式完美整理可编辑版(3)142031121101X;(4)010100143100001201001010120X