根轨迹法

第四章根轨迹法本章提要本本章章提提要要控制系统的动态性能与系统闭环传递函数的极点、零点在S平面上的分部位置有密切关系。本章介绍了在系统开环传递函数的极点、零点已知的条件下确定闭环系统特征根的根轨迹法，并分析了系统参量变化时对闭环极点位置的影响。控制系统的动态性能与系统闭环传递函数的极点、零点在S平面上的分部位置有密切关系。本章介绍了在系统开环传递函数的极点、零点已知的条件下确定闭环系统特征根的根轨迹法，并分析了系统参量变化时对闭环极点位置的影响。重点：根轨迹的绘制，利用根轨迹分析控制系统注意点：特征方程，幅值条件，相角条件重点：根轨迹的绘制，利用根轨迹分析控制系统注意点：特征方程，幅值条件，相角条件控制系统的基本性能（稳定性、动态性能）主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点）。因此，确定闭环极点的位置，对于分析和设计系统具有重要意义。为了避免直接求解高阶系统特征方程根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种在复平面上由开环传递函数确定闭环特征根的图解法－－根轨迹法。根轨迹法是用于分析和设计线性系统的一种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，它是经典控制理论中的一种重要的分析方法。1:如何根据希望的性能要求来确定闭环极点？闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性2:当系统的某些参数（如开环增益）变化时，闭环特征根会怎样的变化？3、反复求解不方便,有没有简便分析方法?第一节引言问题第二节根轨迹基本概念4.2.1根轨迹系统特征根的图解方法!!!广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。狭义根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。特点：例：1)开环传函:开环极点:s1=0s2=−2开环零点:无3)闭环特征方程:s2+2s+K=0ks(s+2)XY-)2()(+=ssKsGKssKsXsYsGc++==2)()()(22)闭环传函：21SSK∞L52125.002-043-1-431-+1-1-j-1-j1-+LL2j-1-2j1-+∞∞+j-1-j1-4）闭环特征根为：K11S2,1−±−=)(0+∞→K取不同值时闭环特征根的变化情况观察：-1αjβ0复平面-2s2rrs1分析：(2)0K1，两个负实根过阻尼状态；(1)K=1临界阻尼，重根；(3)K1共轭复根，欠阻尼衰减振荡，且K越大ζ越小，振荡越烈；!！系统开环增益确定Æ闭环极点在S平面上的位置也确定。10K1≥K过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。1）当K值确定之后，根据闭环极点的位置，便可求出该系统的阶跃响应指标。2）闭环极点不可能出现在S平面右半部，系统始终稳定。本例总结：由于K从0变到∞时，所有闭环特征方程根总是位于左半S平面，因此只要K是正值，系统总是稳定的。因为开环传递函数有一个极点位于S平面原点（s=0），所以系统为Ⅰ型系统，阶跃作用下的稳态误差为零，静态速度误差系数为Kv，即为根轨迹上对应的K值。系统的稳定性（1）当0＜K＜1时，闭环特征根为两个实根（不相等），系统呈过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。（2）当K＝1时，闭环特征根为两个相等的实根，系统处于临界阻尼状态。（3）当K1时，闭环特征根变成一对共轭复数，系统呈欠阻尼状态，阶跃响应变为衰减振荡过程，有超调量出现。系统的动态特性若要更有效的绘制根轨迹就必须找出绘根轨迹的规律…问题逐点手工计算再画图，工作量太大！！！根轨迹能极其直观地反映闭环特征根随参数变化时的整个过程，在系统的稳态和动态分析中能给出直接的结论.优点：开环传函:Y(s)X(s)G(s)H(s)+−闭环特征方程:称为根轨迹方程)()(1)()(sHsGsGsGc+=∏∏==++=njjmiipszsKsHsG11)()()()(1)()(11−=++∏∏==njjmiipszsK1)()(−=sHsG闭环传函:即：4.2.2.根轨迹方程K称为根轨迹增益0)()(11=+++∏∏==imijnjzsKps−∞Κ∞－－－－－完全根轨迹,简称全根轨迹。−∞Κ≤0－－－－－补根轨迹或余根轨迹；0≤Κ≤∞－－－－－－常规根轨迹,简称根轨迹注：1)()(11−=++∏∏==njjmiipszsK将该式移项得:4.2.3幅值和相角条件由根轨迹方程得:可得两个条件方程:œ幅值条件方程(模相等):1)()(11−=++∏∏==njjmiipszsK1)()(1)()(11=++=∏∏==jnjimipszsKsHsG或∑∑==+±=+∠−+∠+±=∠njjmiilpszsorlsHsG11)12()()(,)12()()(ππ相角条件方程(相角相等):œ根轨迹上的点应同时满足上两个方程;相角条件方程与K无关，幅值方程才与K相关;ž相角条件是决定根轨迹的必要条件，s平面上一点s，若满足相角条件即为根轨迹上的一点;Ÿ相角条件用来确定根轨迹点s=σ+jβ; 幅值条件用来确定对应的K。说明：∑∑==+±=+∠−+∠njjmiilpszs11)12()()(π1)()(11=++∏∏==jnjimipszsK°试探法：任选s，看是否满足相角条件；±按基本规则(如下节讲述)手工绘制；²用计算机绘制。绘制根轨迹方法：第三节根轨迹绘制规则[规则1]根轨迹与实轴对称证：特征根要么实根，要么为共轭复根，所以必与实轴对称。[规则2]：根轨迹起于开环极点，终于开环零点或无穷远点，且终于无穷点的分支数为n-m。证：由幅值条件KPsZsji1)()(=++∏∏起从必有即时，必有当jjjjPsPsnjPsPsK−∴−===+=+=•∏,,2,1,0)(0)(0L终。或以必有，即时，必有当∞−∴−===+=+∞=••∏iiiiZsZsniZsZsK,,2,10)(0)(L[规则3]根轨迹分支数=n证：n阶特征方程有n个根，K从0→∞时，n个根随之变化，故有n条根轨迹。[规则4]实轴上根轨迹区段右边的开环零点和开环极点总数为奇数。∑∑==−∠−−∠=∠511111)()()()(iiiipszssHsG°+±∠180)12()()(11ksHsG＝开环零点：z1开环极点：p1、p2、p3、p4、p5在实轴区段[p2，p3]上取试验点s1每对共轭复数极点或零点所提供的幅角之和为360°；s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180°；0-1-2-3-4rrroo已知开环传函为求实轴上的根轨迹。解：z1=-1，z2=-2，p1=0，p2=-3，p3=-4)4)(3()2)(1()()(++++=sssssKsHsG例：[规则5]有n-m条根轨迹分支沿渐近线趋于无穷远，其渐近线与正实轴的夹角为：L,2,1,0)12(=−+=lmnlπϕαmnZPmiinjj−−−−=∑∑==11)()(ασ与实轴的交点为：)22)(3()1()()(2++++=sssssKsHsG例：已知求根轨迹。解：3,1,4=−==mnmn因此共有4条根轨迹，其中有三个分支趋于无穷。求渐进线与实轴的夹角和交点：⎪⎩⎪⎨⎧====+=−+=2,3001,1800,603180)12()12(llllmnlooooπϕα33.1343)112(3))1()1()1(30()()(−=−=−−−=−−−−++−+−=−−∑−−∑=jjmnZPijασr-pjs⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞+∠−⎜⎜⎝⎛+∠−=⎟⎟⎠⎞+∠−⎜⎝⎛+∠+=−==≠=−=≠==∑∑∑∑jjjjzsniimjiiizpsnjijimiippsZspsZs1,1,11)()()()(πθπθ角的计算公式为入射角与终止出射起始规则)()(:]6[ooooooo75759030135180)()()(1800565.2183.1,1,73.2,0)22)(73.2()()(434323134,3212=−=−−−=−∠−−∠−−∠−=−=−=±−=−==+++=ppappppppSjpppssssksHsGφφσ分离点，求出射角例：[规则7]：分离点或会合点根轨迹分离点：定义：根轨迹分离角：实轴上的分离角或会合角为：2π±L条根轨迹在S平面上相遇又分开的点，分离点为L重根点。进入分离点又分开的角度定理：四重根相邻极点间的分离点相邻零点间的会合点rrθfsfoo分离角计算公式可用相角条件证明，证明过程较繁，从略。[]00)()()(')(')()()(0)()(')(')(0)()()(')()()()(0)()(1)()(122'=∴=−=−==−∴=−==+=+dsdKsBsBsAsBsAdsdKsBsAKsBsAsBsAsAsBsAsBsAKdssHsGdsAsKBsHsG又设[]∑∑==+=+==njjmiipdzdds1111)2(0dsdk0G(s)H(s)d1)(或1011111)10()1()()(2+++=+++=ddddssskSHSG再由得K0)s(H)s(G1Sf的求解法：=+分离点必然是为D(s)某一数值时的重根点。例：rrr0)263(dsdk2)1)(s-s(sK:.)2)(1()()(:2=++−=++=++=sssssKsHsG解求分离点和分离角已知例0)(k902)12(180,424.0577.1423.06243662,1==+=−=⎩⎨⎧−−=−±−=ookSSfθ为所求在根轨迹上重根数L的判别：(1)从根轨迹图判别较容易，如：rrθfsfoorrrr10)(,0)2(+==+=mLbsdsdkm可能有重根数时当有判别或从[规则8]：根轨迹与虚轴上的交点对应的临界增益可用jω代入特征方程中求出或利用劳斯判据求出。)4)(1()()(++=sssksHsG例已知求与虚轴的交点及对应的临界K*。20K,22045505200)4(0)4(04504)(5)(j:js0k4s5ss0k4)1)(ss(s:1*2223232323=±=∴⎩⎨⎧=×===−±==−=−=++−−=+++==+++=+++ωωωωωωωωωωωωωωωKKjkjjkjj或有令即特征方程为解法22025205050)(505202000020k105k)-(2005041:2222223==∴±====+−=+=+=∴⎩⎨⎧−ωωωωωKkkkjkskkkkskss解法[]的向量长度之积各零点到的向量长度之积各极点到值可据下式计算的根轨迹上任一点规则11ij11)z(s)P(sK::91ssKs−−−−++=∏∏∏∏∏∏∏∏++=++==+++)()(K)()(s-K0)()(1:111j111ijijiZsPsZsPPsZsK证例：求图中根轨迹上点s1的K解：rroacbs1cbaK⋅=根轨迹绘制规则应用举例Y(s)G(s)H(s)+X(s)−)22)(6)(5()3()()(2+++++=ssssssKsHsG.5,50)()(1)1(条故知轨迹根有阶为因=+sHsG3j,-Z1p6,-p-5,p-0,p-(0)1)(5(2)14.5321−=±−=−=−==×个开环零点和个开环极点标出条渐进线故有44m-n5n1m(3)===解:rrrorr画出实轴上的根轨迹画出坐标轴)22)(6)(5()3()()(2+++++=ssssssKsHsG-6-5-3-101-15.24311650)()(−=++−−−−−=−−∑−−∑=jjmnZPijασ交点⎪⎩⎪⎨⎧=−=−===+=−+=3)45(3152)135(22511350454)12(180)12(kkkkkmnkoooooooπϕα倾角rrrorr-6-5-3-101-1)22)(6)(5()3()()(2+++++=ssssssKsHsG(4)确定分离点3608254132345+++++−=ssssssK:0可得令=dsdk045123142665.132345=+++