30柯西不等式的应用技巧

1柯西不等式的应用技巧324100浙江省江山中学杨作义（手机：[phone]；邮箱：[e-mail]）普通高中课程标准实验教科书数学选修4—5《不等式选讲》安排了“柯西不等式”的内容，它是我省高考的选考内容之一．柯西不等式的一般形式是：设1212,,,Rnnaaabbb，则222222212121122()()()nnnnaaabbbababab当且仅当1212nnaaabbb或120nbbb时等号成立．其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强．本文对此略作探讨，供大家参考．一、巧配数组观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：1212,,nnaaabbb和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧．例1已知,,225xyzxyzR,,且求222(5)(1)(3)xyz的最小值．分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻求不等式取等号的条件．题中要求最小值的式子是三部分的平方和，若能配凑上另外三个数的平方和，并使对应项的乘积是常数，问题便迎刃而解．解：对照柯西不等式,两组数可取为5,1,3;1,2,2.xyz利用柯西不等式有2222222(5)(1)(3)1(2)25(2)(1)2(2)xyzxyz222(5)(1)(3)36xyz等号当且仅当225xyz,且513,3,3,1122xyzxyz即时成立．所以222(5)(1)(3)xyz的最小值为３６．评注：运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了，找出适当的两组数是解此类题的关键．例２设,,Rxyz，求证：22222222222xyzxyz．2分析：对照柯西不等式的原型，构造两组数为：1,2,;2,,1.2xyz证明：由2222222122(1)22xyzxyz222211(2)22xyzxyz222221122xyzxyz22222222222xyzxyz所以，原不等式成立．二、巧拆常数运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧．例３设a、b、c为正数且各不相等，求证：cbaaccbba9222.分析：∵a、b、c均为正∴为证结论正确，只需证：9]111)[(2accbbacba，为此，我们利用９与２这两个常数进行巧拆，2)111(9，2()()()()abcabbcca这样就给我们运用柯西不等式提供了条件．证明：1112()()abcabbcca111[()()()]()abbccaabbcca2222222111111abbccaabbccaabbccaabbcca9)111(2又a、b、c各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立．评注：对要证的不等式做适当的变形，巧拆常数是解答本题的关键．三、巧添项根据柯西不等式的特点，适当添补（或加或乘）上常数项或和为常数的项等，也是运用3柯西不等式的解题技巧．例４设非负实数n21,满足,121n求1221`3121111nnnn的最小值．（1982年西德数学奥林匹克试题）解：n211+1=1121222)(1n同理可得n3111+1=222,,121nn+1=n22令1221`3121111nnnny故122ny222+n22为了利用柯西不等式，注意到,12)(2)2()2()2(2121naaanaaann)12(n121(221+)21n=)2()2()2(21naaa121(221+)21n2212122211122222222,.212121nnaaanaaannnynynnnn等号当且仅当naaan121时成立，从而y有最小值12nn评注：运用柯西不等式求极值，要注意验证等号能否成立．有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．例５设,,,,21Rxxxn求证：222211212231nnnnxxxxxxxxxxx．（1984年全国高中数学联赛题）4分析：为证原不等式成立，只需证2222211223112231nnnnnxxxxxxxxxxxxxxx，即在原不等式的左端乘以因式132xxxxn，右端乘以因式nxxx21，添上了这个因式，就可以应用柯西不等式了．证明：由柯西不等式，得2222112231231()nnnnxxxxxxxxxxxx,22111133222121223222121232221nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx于是nnnxxxxxxxxxxx21123221.评注：合理地添项，巧妙地添项，使得运用柯西不等式成为可能．四、巧变结构有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的．例６a、b为非负数，a+b=1，Rxx21,求证：212121))((xxaxbxbxax分析：不等号左边为两个二项式的积，因为RxxRba21,,,，所以每个二项式可以使用柯西不等式，但直接做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。证明：1212()()axbxbxax21221121221212()()()()axbxaxbxaxxbxxabxxxx（∵a+b=1）评注：根据需要重新安排各个量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的效5果．这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧．例７设,121nnaaaa求证：011111113221aaaaaaaannn分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，不妨改为证：11122311111nnnaaaaaaaa．证明：为了运用柯西不等式，我们将11naa写成1322111nnnaaaaaaaa于是.111121322113221naaaaaaaaaaaannnn即11122311111nnnaaaaaaaa12231111111,nnnaaaaaaaa故.011111113221aaaaaaaannn对于许多不等式问题，用柯西不等式解往往是简明的．正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用于它．——本文发表于《中学教研》2009年第1期