微分方程复习题

常微分方程复习题一、填空题1．微分方程0)(22xydxdydxdyn的阶数是____________.答：12．形如_的方程称为齐次方程.答：)(xygdxdy3．方程04yy的基本解组是．答：cos2,sin2xx.1.二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21xyxy为方程的基本解组充分必要条件是．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）2.方程02yyy的基本解组是．答：xxxe,e3.若()t和()t都是()XAtX的基解矩阵，则()t和()t具有的关系是。4.一阶微分方程0),(),(dyyxNdxyxM是全微分方程的充分必要条件是。5.方程0),(),(dyyxNdxyxM有只含x的积分因子的充要条件是。有只含y的积分因子的充要条件是。6.一曲线经过原点，且曲线上任意一点yx,处的切线斜率为yx2，则曲线方程为。7.称为n阶齐线性微分方程。8.常系数非齐线性方程()(1)11()nnxnnmyayayayePx(其中()mPx是m次多项式)中，则方程有形如的特解。9.二阶常系数线性微分方程32xyyye有一个形如的特解。10.微分方程4210yyy的一般解为。9.微分方程4230xyyy的阶数为。10.若()(0,1,2,,)ixtin为齐次线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为.11.设()xt为非齐次线性方程的一个特解,()(0,1,2,,)ixtin是其对应的齐次线性方程的一个基本解组,则非齐线性方程的所有解可表为.12.若()(0,1,2,,)ixtin是齐次线性方程()(1)11()()()0nnnnyaxyaxyaxy的n个解，)(tw为其朗斯基行列式，则)(tw满足一阶线性方程。答：1()0waxw13.函数是微分方程02yyy的通解.14.方程02yyy的基本解组是．15.常系数方程有四个特征根分别为11,0,1(二重根)，那么该方程有基本解组．16.()YAxY一定存在一个基解矩阵()x，如果()x是()YAxY的任一解，那么()x。17.若)(t是()XAtX的基解矩阵，则向量函数)(t=是()()XAtXFt的满足初始条件0)(0t的解；向量函数)(t=是()()XAtXFt的满足初始条件)(0t的解。18.设12(),()XtXt分别是方程组1()()XAtXFt，2()()XAtXFt的解，则满足方程12()()()XAtXFtFt的一个解可以为。19.设*X为非齐次线性方程组()()XAtXFt的一个特解,)(t是其对应的齐次线性方程组()XAtX的基解矩阵,则非齐线性方程组()()XAtXFt的所有解可表为.20.方程组()XAtX的n个解12(),(),,()nXtXtXt线性无关的充要条件是.21.若矩阵A具有n个线性无关的特征向量12,,,nvvv，它们对应的特征值分别是12,,,n，那么矩阵()t=是常系数线性方程组XAX的一个基解矩阵。二、单项选择题1．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（A）个．（A）n；（B）n1；（C）n+1；（D）n+2.2．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（C）．（A）不是其对应齐次微分方程组的解；（B）是非齐次微分方程组的解；（C）是其对应齐次微分方程组的解；（D）是非齐次微分方程组的通解.3．若)(1xy，)(2xy是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（C）．（A）)()(21xx；（B）)()(21xx；（C）)())()((121xxxC；（D）)()(21xxC.4．下列方程中为常微分方程的是（）(A)2210xx；(B)2yxy；(C)2222uuutxy；(D)2yxc(c为常数）.5.下列微分方程是线性的是（）(A)22yxy；(B)2xyye；(C)20yx；(D)2yyxy.6.方程2232xyyyxe特解的形状为()(A)221xyaxey；(B)221()xyaxbxce；(C)2221()xyxaxbxce；(D)2221()xyxaxbxce.7.下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)4,x；(B)2,2,xxx；(C)225,cos,sinxx；(D)21,2,,xx.8.下列方程中为常微分方程的是（）(A)20tdtxdx；(B)sin1x；(C)1yxc(c为常数)；(D)22220uuxy.9.下列微分方程是线性的是（）(A)21yy；(B)11dydxxy；(C)2ybycx；(D)40yxy.10.方程22(cos2sin)xyyyexxx特解的形状为()(A)1[()cossin]xyeAxBxCx；(B)yeAxxCxx1[cossin]；(C)yeAxBxCxDxx1[()cos()sin]；(D)yxeAxBxCxDxx1[()cos()sin].11.下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)31,,xx;(B)222,,xxx；(C)21,sin,cos2xx；(D)225,sin(1),cos(1)xx.12.下列方程中为常微分方程的是（）(A)2210xy；(B)2xyy；(C)222222uuuxy；(D)2xyc(c为常数).13.下列微分方程是线性的是（）(A)dydxyx；(B)261yy；(C)3sinyyx；(D)2cosyyyx.14.方程2sinyyx特解的形状为()(A))sincos(1xBxAxy；(B)yAxx1sin；(C)yBxxcos；(D)yAxxx12(cossin).15.下列方程中为常微分方程的是（）(A)2220xyz；(B)ycex；(C)22uutx；(D)y=c1cost+c2sint(c1,c2为常数).16.下列微分方程是线性的是（）(A)()()xtxft；(B)3cosyyx；(C)2xyy；(D)413yyy.17.方程23cosxyyyex特解的形状为()(A)yAxBx1cossin；(B)yAex1；(C)yeAxBxx1(cossin)；(D)yAxexx1cos.18.下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)23,,ttteee；(B)20,,tt；(C))22cos(),1(sin12tt，；(D)4t,2t3,6t+8.19.下列方程中为常微分方程的是（）(A)x3+1=0；(B)ycex；(C)2220uuatx；(D)2xyye.20.下列微分方程是线性的是（）(A)221yyx；(B)2cosyyx；(C)222yyx；(D)xdx+ydy=0.21.方程36916xyyye特解的形状为()(A)31xyAe；(B)yAxex123；(C)yAxex13；(D)yeAxBxx1333(sincos).22.下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)2,,xxxexexe；(B)222,cos,cosxx；(C)21,2,x；(D)5420,,xxexex.23.微分方程y''3y'+2y=2x2ex的特解y*的形式是()(A)(ax+b)ex(B)(ax+b)xex(C)(ax+b)+cex(D)(ax+b)+cxex24.微分方程230yyy的通解是y=()(A)33xx；(B)cxcx123；(C)cecexx123；(D)cecexx123.25.设yxyxyx123(),(),()是线性非齐次方程()()()yaxybxyfx的特解，则yccyxcyxcyx()()()()11211223()(A)是所给微分方程的通解；(B)不是所给微分方程的通解；(C)是所给微分方程的特解；(D)可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解.26.微分方程yyx4212cos的特解的形式是y=（）(A)cos2ax；(B)cos2axx；(C)sin2cos2axbx；(D)sin2cos2axxbxx.27.下列方程中为常微分方程的是（）(A)42310xxx；(B)2'yyx；(C)222222uuutxy；(D)2uvw.28.下列微分方程是线性的是（）(A)2yxyyx；(B)22yxy;(C)2()yxyfx；(D)3yyy.29.设123(),(),()yxyxyx是二阶线性非齐次微分方程()()()yPxyQxyfx的三个线性无关解，12,cc是任意常数，则微分方程的通解为()(A)11223cycyy;(B)1122123(1)cycyccy;(C)1122123()cycyccy;(D)1122123(1)cycyccy.30.若连续函数()fx满足关系式20()ln22xtfxfdt，则()fx为（）(A)ln2xe;(B)2ln2xe;(C)ln2xe(D)2ln2xe.31.若3312,xxyeyxe，则它们所满足的微分方程为（）(A)690yyy;(B)90yy;(C)90yy;(D)690yyy.32.设123,,yyy是二阶线性微分方程()()()ypxyqxyfx的三个不同的特解，且1223yyyy不是常数，则该方程的通解为（）(A)11223cycyy;(B)1122231()()cyycyyy;(C)11232cycyy;(D)112223()()cyycyy.33.设12,yy是方程()()0ypxyqxy的两个特解，则1122ycycy（12,cc为任意常数）（）(A)是此方程的通解;(B)是此方程的特解;(C)不一定是该方程的解;(D)是该方程的解.34.微分方程1xyye的一个特解形式为（）(A)xaeb;(B)xaxebx;(C)xaebx;(D)xaxeb.35.方程22()(2)0pxyydxqxyxdy是全微分方程的充要条件是（B）(A)4,2pq;(B)4,2pq;(C)4,2pq;(D)4,2pq.36.表达式22[cos()][cos()3]xyaydxbyxyxdy是某函数的全微分，则（）(A)2,2ab;(B)3,2ab;(C)2,3ab;(D)3,3ab.37.方程xyyyyxe是特解*y的形式为（）(A)()xaxbe;(B)()xxaxbe;(C)2()xxaxbe;(D)[()cos2()sin2]xeaxbxcxdx.38.方程2xyyyxe的特解*y的形式为（）(A)xaxe;(B)()xaxbe;(C)()xxaxbe;(D)2()xxaxbe.39.已知1cosywx与23cosywx是微分方程20ywy的解,则1122ycycy是（）(A)方程的通解;(B)方程的解,但不为通解;(C)方程的特解;(D)不一定是方程的解.40.方程3232xyyyxe的特解*y