换底公式的推导及特殊换底公式及练习

一、从对数的运算性质说起如果(1)log()log()log();aaaMNMN1(2)log()log()log();aaaMNMN(3)loglog,();naanMMnR（加法）（减法）（数乘）注意：1.在实际解题过程中以上三式从左向右运算不必考虑，是否非负；但是从右向左运算时必须保证，非负；2.两端的底数必须相同这就是说利用对数的运算性质只能解决同底数的对数运算.MNMN0a，1a，0M，0N，则有：2、利用计算器计算和.二、换底公式1、利用计算器计算和；lg15lg2ln15ln2lg151.7,ln152.7,结果：1、2、说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学计算器可以直接计算常用对数和自然对数.lg20.3;ln20.7.问题1可否利用计算器求出的值呢？2log15我们可设，2log15x215x对上式两边同取以10为底的对数可得1010log2log15x，lg2lg15xlg2lg15xlg15lg2x，2lg15log15lg22lg15log15lg2x3.91.从而有即即2lg15log15lg2由抽象推广到一般情况可得重要的对数转换公式：换底公式loglog(010)logabaNNbababN其中，，，，说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面对的求值过程实际上就是一种证明方法，可类似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程，并思考如何将以为底的对数转换为以为底的对数的比值.2log15aNb证明logbNxxbN两边取以为底的对数，得aloglog.xaabN0b由于，所以可得loglogaaxbN，1b又由于，所以可得loglogaaNxb，即loglog.logabaNNb，根据对数的定义，有设令，logloglogabaNNbNa推论21loglogbaab1loglogmnnmabba1lognbma1lognamb1logamnbloganbm推论1loglogmnaanbbm三、推论则就变形为注：实际上由换底公式直接可得推论2，请同学们自己推导.logloglogmnnamaabba直接利用换底公式推论3loglogloglogabcabcdd证明loganbmloganbm左边右边lglgbalglgcblglgdclglgdalogad四、应用例1计算：9(1)log27；827(2)log9log32例2用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：23851.082log48log10;log;log50;log2；lg48lg2170.356.7lg10lg310.482.1lg=lg80.50.90.56分析：对于实际问题的解答，其基本思路为：1.分析实际问题；2.建立数学模型；3.利用数学方法求解；4.解答.例3一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）.0.84y解：设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y，则经过1年，剩留量是经过2年，剩留量是……经过x年，剩留量是20.84y0.84xy方法一：利用指数函数的性质可知在上是减函数，故可取=1，2，3，4，5，6，....直至对应的为止，如下表所示：012345...10.840.710.590.500.42...0.840.5x，由表可知，当时，对应的,即约经过4年该物质的剩留量是原来的一半.方法二：lg0.5lg0.84x，利用换底公式得用科学计算器计算得3.98x，即月经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.0.84xy(0)，0.84xyxx4x0.5y0.5y由题意可得0.84log0.5x即54lg2=lg3mn例若，，求log12的值.5lg12log12lg5解：21mnmlg4lg310lg22lg2lg31lg2lg4lg3lg10lg2五、终结loglog(010)logabaNNbababN其中，，，，1.换底公式：2.推论：11loglogbaab（）2loglogmnaanbbm（）3loglogloglogabcabcdd（）鸣谢马海红未经允许转载