矩阵概念的一些背景

第四章矩阵§1矩阵概念的一些背景在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.1.在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变换的公式为⎩⎨⎧′+′=′−′=,cossin,sincosθθθθyxyyxx(1)其中θ为x轴与x′轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的矩阵22×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−θθθθcossinsincos(2)表示出来.通常，矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换有公式⎪⎩⎪⎨⎧′+′+′=′+′+′=′+′+′=.,,333231232221131211zayaxazzayaxayzayaxax(3)同样，矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211aaaaaaaaa(4)就称为坐标变换(3)的矩阵.2.二次曲线的一般方程为022222=+++++feydxcybxyax.(5)(5)的左端可以简单地用矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛fedecbdba(6)来表示.通常，(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只是形式的.3.在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤，有个产地，个销地，那么一个调动方案就可以用一个矩阵ssAAA,,,21LnnBBB,,,21L⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛snssnnaaaaaaaaaLMMMLL212222111211来表示，其中表示由产地运到销地的数量.ijaiAjB4.维向量也可以看成矩阵的特殊情形.维行向量就是nnn×1矩阵，维列向量就是矩阵.n1×n以后用大写的拉丁字母，或者L,,BA()()L,,ijijba来表示矩阵.有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把ns×矩阵写成，或者L,,snsnBA()()L,,snijsnijba(注意矩阵符号与行列式的符号的区别).设()()lkijmnijbaA,=，如果knlm==,，且ijijba=，对njmi,,2,1;,,2,1LL==都成立，我们就说BA=.即只有完全一样的矩阵才叫做相等.§2矩阵的运算现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.1.加法定义1设()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==snssnnsnijaaaaaaaaaaALMMMLL212222111211,()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==snssnnsnijbbbbbbbbbbBLMMMLL212222111211是两个矩阵，则矩阵ns×()()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+++++++++=+==snsnssssnnnnsnijijsnijbabababababababababacCLMMMLL221122222221211112121111称为和AB的和，记为BAC+=.矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以不难验证，它有结合律：CBACBA++=++)()(;交换律：ABBA+=+.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为，在不致引起含混的时候，可简单地记为.显然，对所有的，snOOAAOA=+.矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−snssnnaaaaaaaaaLMMMLL212222111211称为矩阵A的负矩阵，记为A−.显然有OAA=−+)(矩阵的减法定义为)(BABA−+=−例如在§1我们看到，某一种物资如果有个产地，n个销地，那么一个调动方案就可表示为一个矩阵.矩阵中的元素表示由产地要运到销地的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个矩阵.显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和.sans×sijiAjBn×根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出：秩(+AB)≤秩()+秩(AB)2.乘法在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题.设和是两组变量，它们之间的关系为4321,,,xxxx321,,yyy⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=++=.,,,3432421414333232131332322212123132121111yayayaxyayayaxyayayaxyayayax(1)又如是第三组变量，它们与的关系为21,zz321,,yyy⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=.,,232131322212122121111zbzbyzbzbyzbzby(2)由(1)与(2)不难看出与的关系：4321,,,xxxx21,zz)4,3,2,1()()(213121313121312131======∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========izbazbazbazbayaxjjkjkkjikjkjikkjjkjikkjjkjikkkiki.(3)如果我们用)4,3,2,1(21==∑=izcxjjiji(4)来表示与的关系，比较(3),(4)，就有4321,,,xxxx21,zz)2,1;4,3,2,1(31===∑=jibackkjikij.(5)用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵()()3243,kjikbBaA==分别表示变量与以及与之间的关系，那么表示与之间的关系的矩阵4321,,,xxxx21,zz321,,yyy321,,yyy21,zz4321,,,xxxx()42ijcC=就由公式(5)决定.矩阵称为矩阵CA与B的乘积，记为ABC=一般地，我们有：定义2设()()nmkjsnikbBaA==,,那么矩阵()smijcC=,其中∑==+++=nkkjiknjinjijiijbabababac12211L,(6)称为矩阵A与B的乘积，记为ABC=.由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵与AB的乘积的第i行第Cj列的元素等于第一个矩阵的第行与第二个矩阵AiB的第j列的对应元素的乘积的和.当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.例1设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=121113121430,415003112101BA,那么⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=101726210765121113121430415003112101AB例2如果()snijaA=是一线性方程组的系数矩阵，而⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=snbbbBxxxXMM2121,分别是未知量和常数项所成的1×n和1×s矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式BAX=.例3在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系到的坐标变换的矩阵为),,(111zyx),,(222zyx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211aaaaaaaaaA如果令⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=22221111,zyxXzyxX,那么坐标变换的公式可以写成21AXX=.如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系到第三个坐标系),,(222zyx),,(333zyx的坐标变换公式为32BXX=,其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=3333333231232221131211,zyxXbbbbbbbbbB.那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为ABC=.矩阵的乘法适合结合律.设()()()mrklnmjksnijcCbBaA===,,则)()(BCACAB=.证：()ijsnAa=()jknmBb=()klmrCc=令，()iksmVABv==()jlnrWBCw==其中，1nikijjkjva==∑bc1mjljkklkwb==∑VCi的第行第j列元素为，111mmnikklijjkklkkjvcabc=====∑∑∑LAWi的第行第j列元素为．111mmnijjlijjkkljkjawabc=====∑∑∑L即，VC的第行第ij列元素等于的第行第AWij列元素．所以．ABCABC()=()但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来BAAB≠.例如，设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1111,1111BA⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=000011111111AB,而⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=222211111111BA.由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当ACAB=时,不一定有.CB=定义3主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的nn×矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛100010001LMMMLL称为级单位矩阵，记为，或者在不致引起含混的时候简单写为nnEE.显然有snnsnAEA=,snsnsAAE=.矩阵的乘法和加法还适合分配律，即ACABCBA+=+)(,(9)BCBAACB+=+)(.(10)应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律.我们还可以定义矩阵的方幂.设是一Ann×矩阵，定义⎪⎩⎪⎨⎧==+.,11AAAAAkk换句话说，就是个连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律，不难证明kAkAlklkAAA+=,kllkAA=)(.这里是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以与lk,kAB)(kkBA一般不相等.3.数量乘法.定义4矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛snssnnkakakakakakakakakaLMMMLL212222111211称为矩阵()snijaA=与数的数量乘积，记为.换句话说，用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上.kkkA数量乘积适合以下的规律：lAkAAlk==+)(,(11)kBkABAk+=+)(,(12)AkllAk)()(=,(13)AA=1,(14))()()(kBABkAABk==.(15)矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=kkkkELMMMLL000000通常称为数量矩阵.作为(15)的特殊情形，如果是一Ann×矩阵，那么有)()(kEAAkEkA==.这个式子说明，数量矩阵与所有的nn×矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果一个级矩阵与所有级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵.再有nnElklEkE)(+=+,EkllEkE)())((=,这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法.若为级方阵，AnnkAkA=．4.转置把一矩阵的行列互换，所得到的矩阵称为的转置，记为.可确切地定义如下：AAA′定义5设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=snssnnaaaaaaaaaALMMMLL212222111211，所谓的转置就是指矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=′snnnssaaaaaaaaaALMMMLL212221212111.显然，矩阵的转置是矩阵.ns×sn×矩阵的转置适合以下的规律：AA=′′)(,(16)BABA′+′=′+)(,(17)ABAB′′=′)(,(18)AkkA′=′)(.(19)(16)表示两次转置就还原，这是显然的.例4设()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−=124311012,211BA求ABAB′′′,)(.对称矩阵反对称矩阵定义：设A为n级方阵，若A