微积分习题册答案

微积分(下)同步作业册微积分练习册作业1多元函数1.填空题：(1)已知函数f(x+y;yx)=x2−y2,则f(x;y)=x2(1−y)1+y(y̸=−1):(提示:令s=x+y,t=y/x)(2)z=arcsinyx+√x2+y2−1的定义域是{(x;y)||y|≤|x|;x2+y2≥1}:(3)函数f(x;y)=2xyx2+y2;x2+y2̸=00;x2+y2=0的连续范围是{(x;y)|x2+y2̸=0}:(4)函数z=1sinxsiny在(k;y)或(x;k)(x;y∈R;k∈Z)处间断.2.求下列极限：(1)limx!0;y=kx3ln(x+ey)√x2−y2.解.原极限=ln2.(2)limx!+1;y!+1(xyx2+y2)x2.解.因为当x,y0时,0(xyx2+y2)x2≤(12)x2→0(x→+∞;y→+∞);所以由夹逼准则可知所求极限等于0.(3)limx!0;y!01−√1+x2+y2sin(x2+y2).解.原极限=−1/2.3.讨论极限limx!0;y!0x3yx6+y2是否存在.解.因为动点(x;y)沿曲线y=kx3趋于原点(0;0)时,limx!0;y=kx3x3yx6+y2=k1+k2;即极限与k的值有关,所以所论极限不存在.4.证明f(x;y)=2xyx2+y2;x2+y2̸=00;x2+y2=0在点(0;0)分别对每个自变量x或y都连续，但作为二元函数在(0;0)处却不连续.证.因为limx!0f(x;0)=limx!00=0=f(0;0);即函数f(x;y)在(0;0)处对自变量x连续.同理可知函数f(x;y)在(0;0)处对自变量y也是连续的.但是,因为limx!0;y=x2xyx2+y2=1̸=f(0;0)=0;所以lim(x;y)!(0;0)f(x;y)̸=f(0;0),即函数f(x;y)在(0;0)处不连续.微积分练习册作业2偏导数1.填空题：(1)设f(x;y)=x+(y−2)arcsin√xy,则@f@x=1;(2)设f(x;y)=x√x2+y2;则@2u@x2=y2(x2+y2)3/2;@2u@x@y=−xy(x2+y2)3/2;(3)设u=xz2+sinxy;则@3u@x@y@z=0;(提示:较简单的方法是@3u@x@y@z=@3u@z@y@x=0).(4)曲线:z=x2+y24y=4在点(2;4;5)处的切线与Ox轴正向的倾角是/4:2.设u=xyz;求ux;uxx;uy;uz;uxy:解.@2u@x2=yz(yz−1)xyz2,@2u@x@y=zyz1xyz1(1+yzlnx).3.设z=(x2+y2)earctanxy;求@2z@x@y.解.@2u@x2=x2−y2−xyx2+y2earctan(x/y).4.设u=1r;r=√(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2;其中a;b;c为常数，证明：uxx+uyy+uzz=0:解.因为dudr=−1r2,@r@x=2x2√(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=x−ar,所以@u@x=dudr@r@x=−x−ar3;进一步,我们有@2u@x2=−1·r3−(x−a)·3r2·@r@xr6=−r3−(x−a)·3r2·x−arr6=3(x−a)2−r2r5:同理可得@2u@y2=3(y−b)2−r2r5;@2u@z2=3(z−c)2−r2r5:由于r2=(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2,所以@2u@x2+@2u@y2+@2u@z2=0:5.设函数f(x;y)=x2(x2+y2)sin1x;x̸=00;x=0:(1)试求f(x;y)的偏导函数；微积分练习册(2)考察偏导函数在(0;3)处是否连续.解.(1)当x̸=0时,由对数求导法可得fx(x;y)=x2(x2+y2)sin1x(2x+2xx2+y2−1xcot1x):当x=0时,fx(0;y)=limk!0f(k;y)−f(0;y)k=limk!0k2(k2+y2)sin1kk=0:类似,fy(x;y)=2x2ysin1x;x̸=00;x=0:(2)当动点(x;y)沿直线y=3趋于原点(0;3)时,极限limx!0;y=3fx(x;y)不存在,所以fx(x;y)在点(0;3)处不连续.注意到无论x̸=0抑或x=0,总有0≤|fy(x;y)|≤2x2|y|→0((x;y)→(0;3));由夹逼准则可知lim(x;y)!(0;3)fy(x;y)=0=fy(0;3),即偏导函数fy(x;y)在点(0;3)处连续.微积分练习册作业3全微分及其应用1.填空题：(1)z=f(x;y)在点(x0;y0)处偏导数存在是z=f(x;y)在该点可微的必￿条件；(2)函数z=x2y2在点(2;−1)处，当∆x=0:02;∆y=−0:01时有全增量∆z=−0:2040402,全微分dz=−0:2.(3)设z=f(x;y)在点(x0;y0)处的全增量为∆z,全微分为dz,则f(x;y)在点(x0;y0)处的全增量与全微分的关系式是∆z=dz+o()(→0);(4)u=arctanyx在点(1;1)处的du=−12dx+12dy;(5)u=(siny)cosy，则du=(siny)cosx(−sinxlnsinydx+cosxcotydy);(6)u=1√x2+y2+z2;则du=−1(x2+y2+z2)3/2(xdx+ydy+zdz):2.证明：f(x;y)=√|xy|在点(0;0)处连续，fx(0;0);fy(0;0)都存在，但在(0;0)处不可微.解.因为lim(x;y)!(0;0)f(x;y)=lim(x;y)!(0;0)√|xy|=0=f(0;0);即函数f(x;y)在点(0;0)处是连续的.此外,fx(0;0)=limh!0f(h;0)−f(0;0)h=0;同理fy(0;0)=0,即fx(0;0),fy(0;0)都存在.但是极限lim∆x!0;∆y!0∆z−fx(0;0)∆x−fy(0;0)∆y=lim∆x!0;∆y!0√|∆x∆y√(∆x)2+(∆y)2̸=0;这是因为当动点(∆x;∆y)沿直线y=x趋于原点(0;0)时,上述极限为1p2̸=0.因此,函数f(x;y)在(0;0)处不可微.3.设函数f(x;y)=xysin1x2+y2;x2+y2̸=0;0;x2+y2=0;,试证：(1)函数f(x;y)在点(0;0)处可微；证.容易由偏导数的定义得到fx(0;0)=fy(0;0)=0,因此,lim∆x!0;∆y!0∆z−fx(0;0)∆x−fy(0;0)∆y=lim∆x!0;∆y!0∆x∆ysin1(∆x)2+(∆y)2√(∆x)2+(∆y)2=0;即函数f(x;y)在(0;0)处可微.(2)函数fx(x;y)在点(0;0)处不连续.证.当x2+y2̸=0时,fx(x;y)=ysin1x2+y2−2x2y(x2+y2)2cos1x2+y2:微积分练习册由于极限limx!0;y=xfx(x;y)=limx!0(xsin12x2−12xcos12x2)不存在,所以lim(x;y)!(0;0)fx(x;y)̸=fx(0;0),即函数fx(x;y)在(0;0)处不连续.微积分练习册作业4多元复合函数的求导法则1.填空题：(1)设z=eucosu,u=yx,v=3y2x,则∂z∂x=ey/x[ycos(3y2x)/x2+2sin(3y2x)];(2)设u=f(t),t=x+y,则du=f′(x+y)(dx+dy);(3)设u=(xy)z,z=xy,则∂u∂x=(xy)xy[xy/(xy)+yln(xy)];(4)设z=x2+py,y=cosx,则dzdx=2xsinx2pcosx.2.求下列函数的偏导数：(1)设u=f(x,xy),其中f具有一阶连续偏导数，求∂u∂x,∂u∂y.解.∂u∂x=f′1+f′2/y,∂u∂y=xf′2/y2.(2)设u=f(x,y,z),而z=φ(y,t),t=ψ(y,x),其中f,φ,ψ均可微，求∂u∂x和∂u∂y.解.∂U∂x=fx+fzφtψx,∂y∂y=fy+fz(φy+φtψy).3.验证下列各式：(1)设z=yf(x2y2),其中f(u)可微，则y2∂z∂x+xy∂z∂y=xz.证.(1)∂z∂x=2xyf′(u),∂z∂y=f(u)2y2f′(u),其中u=x2y2.因此,y2∂z∂x+xy∂z∂y=xyf(u)=xz.(2)令ξ=x,η=yx,=zx,证明方程∂u∂x+∂u∂y+∂u∂z=0可变为∂u∂ξ=0.证.∂u∂x=∂u∂ξ∂u∂η∂u∂ζ,∂u∂y=∂u∂η,∂u∂z=∂u∂ζ,因此,∂u∂x+∂u∂y+∂u∂z=∂u∂ξ,从而方程∂u∂x+∂u∂y+∂u∂z=0可变为∂u∂ξ=0.4.设z=xf(2x,y2x),其中f具有二阶连续偏导数，求∂2u∂x∂y.解.∂z∂x=f+x(2f′1y2f′2/x2),∂2z∂x∂y=4yf′′122y3f′′22.5.设u=φ(yx)+xψ(yx),其中φ￿ψ具有二阶连续偏导数，试证：x2∂2u∂x2+2xy∂2u∂x∂y+y2∂2u∂y2=0.微积分练习册证.直接计算得∂2u∂x2=y2x4φ′′+2yx2φ′+y2x3ψ′′,∂2u∂x∂y=yx3φ′′1x2φ′yx2ψ′′,∂2u∂y2=1x2φ′′+1xψ′′,因此,x2∂2u∂x2+2xy∂2u∂x∂y+y2∂2u∂y2=0.微积分练习册作业5隐函数求导法1.填空题：(1)已知x2y2+2xy=0;则dydx=y+xyx;(2)已知ln√x2+y2=arctanyx;则dydx=x+yxy;(3)已知x2xy+2y2+xy1=0;则dydx(0;1)=0;d2ydx2(0;1)=23;;解.不难求得dydx(0;1)=2xy+1x4y+1(0;1)=0;从而d2ydx2(0;1)=(2y′)(x4y+1)(2xy+1)(14y′)(x4y+1)2(0;1)=23:(4)已知x+y+z=ez;则dz=dx+dyez1;(5)已知z=f(xyz;zy);其中f具有一阶连续偏导数，则dz=.解.所给方程两侧取去全微分得dz=f′1(yzdx+xzdy+xydz)+f′2(dzdy);从而可得dz=yzf′1dx+(xzf′1f′2)dy1xyf′1f′2:2.设F(y+z;xy+yz)=0;其中F具有二阶连续偏导数，求@2z@y2:解.@z@y=F′1+(x+z)F′2F′1+yF′2.3.求由方程组z=x2+y2x2+2y2+3z2=10所确定的y(x)和z(x)的导数dydx及dzdx:解.dydx=x(1+6z)2y(1+3z),dzdx=x1+3z.4.设z=x2+y2;其中y=y(x)为由方程x2xy+y2=1所确定的函数，求dzdx及d2zdx2:解.分别在条件所给两方程两侧取全微分得dz=2xdx+2ydy;2xdxydxxdy+2ydy=0;由此可得dydx=y2x2yx;dzdx=2y22x22yx:微积分练习册进一步可得d2zdx2=(4yy′4x)(2yx)(2y22x2)(2y′1)(2yx)2=10x3+24x2y30xy2+8y3(2yx)3:5.设函数f(u)具有二阶连续偏导数，而z=f(exsiny)满足方程@2z@x2@2z@y2=ze2x;求f(u):解.因为@2z@x2=f′′
(exsiny)2+f
exsiny;@2z@y2=f′′
(excosy)2+f′
ex(siny);从而由条件可得f′′(u)=f(u):这是二阶常系数线性微分方程,解之得f(u)=C1e−u+C2eu,其中C1,C2为任意常数.微积分练习册作业6方向导数与梯度1.填空题：(1)在梯度向量的方向上，函数的变化率最大;(2)函数在给定点的方