微积分习题库

1习题1—21．确定下列函数的定义域：（1）912xy；（2）xyaarcsinlog；（3）xysin2；（4）)32(log213xxya；（5）)4(log21arccos2xxya2．求函数)0(0)0(1sinxxxy的定义域和值域。3．下列各题中，函数)(xf和)(xg是否相同？（1）2)(,)(xxgxxf；（2）2sin21)(,cos)(2xgxxf；（3）1)(,11)(2xxgxxxf；（4）0)(,)(xxgxxxf。4．设xxfsin)(证明：2cos2sin2)()(xxxxfxxf5．设5)(2bxaxxf且38)()1(xxfxf，试确定ba,的值。6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22xxy（2）323xxy；（3）2211xxy；（4）)1)(1(xxxy；（5）1cossinxxy（6）2xxaay。7．设)(xf为定义在),(上的任意函数，证明：（1）)()()(1xfxfxF偶函数；（2）)()()(2xfxfxF为奇函数。8．证明：定义在),(上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。9．设)(xf定义在),(LL上的奇函数，若)(xf在),0(L上单增，证明：)(xf在)0,(L上也单增。10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2cos(xy（2）xy4cos；（3）xysin1；（4）xxycos；（5）xy2sin（6）xxytan3sin。11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。（1）txxysin,3（2）2,xuayu；（3）23,log2xuuya；（4）2sin,xuuy（5）3,xuuy（6）2,log2xuuya。12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）321)1(xy（2）2)1(3xy；2（3）)13(sin2xy（4）32coslogxya。13．求下列函数的反函数：（1）xysin2；（2）)2(log1xya；（3）122xxy。习题1—31．利用数列极限定义证明：如果Aunnlim，则||||limAunn，并举例说明反之不然。习题1—41．设)1(1)1()(2xxxxxf（1）作函数)(xfy的图形；（2）根据图形求极限)(lim1xfx与)(lim1xfx；（3）当1x时，)(xf有极限吗？2．求下列函数极限：（1）||lim0xxx；（2）||lim20xxxx；（3）||lim20xxxx。3．下列极限是否存在？为什么？（1）xxsinlim；（2）xxarctanlim；（3）xx1coslim0；（4）)e1(limxx；（5）1|1|lim1xxx；（6）xxelim。习题1—5求下列极限1．)1(1321211limnnx；2.22221limnnnnx；3.35lim22xxx；4．112lim221xxxx；5.hxhxh220)(lim；6.11lim31xxx。习题1—61．求下列极限：（1）)0(sinsinlim0bbxaxx；（2）30sintanlimxxxx；（3）xxxxsincos1lim0；（4）xxxxsintan2lim0；（5）xxxarcsinlim0；（6）xxx21lim；（7）ttt11lim；（8）311limxxx；（9）xxxcot0)tan1(lim；3（10）xxaxaxlim；（11）122212limxxxx；（12）nxn211lim。2．利用极限存在准则证明：（1）11211lim222nnnnnx；（2）数列222,22,2，…的极限存在；（3）111lim2xxx。习题1—71．当n无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？（1）21n；（2）1)1(nn；（3）nn12；（4）nncos1。2．已知函数xxxxxxxe,e),1ln(,1,1,sin2（1）当0x时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？（2）当x时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？（3）“x1是无穷小”，这种说法确切吗？3．函数xxycos在),(是是否有界？又当x地，这个函数是否为无穷大？为什么？4．求下列极限（1）1000!lim2nnx；（2）2lim2nnnx；（3）nnxbbbaaa2211lim；)1||,1|(|ba（4）113)2(2)2(limnnnnx；（5）1lim31xxx；（6）15614lim2221xxxx；5．求下列极限：（1）xxxxsinelim；（2）xxx1coslim0；（3）nnnsinlim；（4）xxxarctanlim；（5）xxxarctanelim；（6）xxxarctanelim。6．下列各题的做法是否正确？为什么？（1）)9(lim)9(lim99lim92929xxxxxxx（2）011lim11lim)1111(lim21121xxxxxxx（3）01limcoslimcoslimxxxxxxx。47．证明：当0x时，xx~arcsin，xx~arctan。8．利用等价无穷小的性质，求下极限：（1）xxx3sin2sinlim0；（2）xxxarctan2sinlim0；（3）mnxxx)(sinsinlim0（nm,为正整数）；（4）xxxcos1lim0。9．当1x时，233xx是1x是多少阶无穷小？10．当x时，114xx是x1是多少阶无穷小？11．当x时，xx1sin1是x1是多少阶无穷小？习题1—81．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：（1）xxxf)(；（2）)21(2)10()(2xxxxxf；（3）)1|(|)1|(|)(2xxxxxf；（4）)0(1)0(||)(xxxx。2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。（1）23122xxxy；（2）xnytan；（3）xy1cos2。3．a为何值时函数)21()10(e)(xxaxxfx在[0，2]上连续？4．讨论函数xxxxfnnn2211lim)(的连续性，若有间断点，判断共类型。习题1—91．设)(xf连续，证明|)(|xf也是连续的。2．若)(xf在],[ba上连续，且在],[ba上)(xf恒为正，证明：)(1xf在],[ba上迹连续。3．求下列极限：（1）52lim20xxx；（2）34)2(sinlimxx；（3）xxxxsin3sin5sinlim0；5（4）axaxaxsinsinlim；（5）)0(limabxaabxbx；（6）xxx)31ln(lim0；（7）xxxx20sinlim；（8）xxthlim；（9）)12(lim3xxx；（10）422lim22xxxx；（11）1limxxxxx（12）xaxaxln)ln(lim0。习题1—101．证明：方程135xx在区间（1，2）上至少有一个根。2．设)(xf在闭区间[a，b]上连续，nxxx,,,21是[a，b]内的n个点，证明：],[ba，使得nxfxfxffn)()()()(21习题2—11．用导数定义求下列函数的导数：（1）baxy（ba,是常数）；（2）xxfcos)(；（3）xy1。2．下列各题中假定)(0xf存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么？（1）Axxfxxfx)()(lim000；（2）Axxfx)(lim0，其中，0)0(f；（3）Ahhxfhxfh)()(lim000。3．利用幂函数求导数公式，求下列函数的导数：（1）xxy2；（2）326.1xxy；（3）2xxy；（4）532xxxy。4．已知函数xxf1)(，求)2(),1(ff。5．已知函数xxf)(，求)4(),2(ff。6．自由落体运动221gts（g=9.8米/秒2）。（1）求在从5t秒到（tt）秒时间区间内运动的平均速度，设1t秒，1.0秒，0.001秒；（2）求落体在5秒末的瞬时速度；（3）求落体在任意时刻t的瞬时速度。67．函数在某点没有导数，函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？举例说明。8．设函数)1()1()(2xbaxxxxf为了使函数)(xf在1x处连续可导，a，b应取什么值？9．求曲线xysin在x及32x处的切线斜率。10．求曲线3xy上取横坐标为11x及32x的两点，作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？12．证明函数数)0(0)0(1sin)(xxxxxf在0x处连续，但不可导。13．函数|sin|xy在0x处的导数是否存在，为什么？14．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性：（1）)0(0)0(1sin)(2xxxxxf在点0x处；（2）11xxy在点1x处；（3）|2|xy在点2x处。习题2—21．求下列函数的导数：（1）cbxaxy2；（2）)2(2xxy；（3）)1()1()(2vvvf；（4）xxycos2；（5）sin)(；（6）xayx23；（7）211xxy；（8）ttssin1sin1；（9）ttysin)sec2(。2．求下列函数在指定点处的导数：（1）0111)(axaxaxaxfnnnn，求)0(f，)1(f；（2）)2sin(2xxy，求)2(y。3．求下列函数的导数（其中x，t是自变量，ba,是大于零的常数）：（1）221xay；（2）222axxy；（3）xy2ln1；（4）2tanxy；（5）xye1；（6）2cosxy；（7）21121xxy；（8）2cot3sin2xxy；（9）)12(sin2xy；（10）21sinxy；（11）321cotxy；（12）22sinexxy；7（13）)(coscos22xy；（14）xxy1sin2；（15）xxy1tan1；（16）xxyln/2；（17）tty33（18）)21ln(2xxxy；（19）xy3sine；（20）)(ln23xy；（21）)]ln[ln(lnty；（22）xy1arccos；（23）xy31arccos；（24）xxyarctan；（25）21arccosxxxy（26）21arcsinxxy；（27）xxye1arccos2；（28）xxy11arcsin；（29）)1ln(arctan2xy；（