高考数学第一轮复习全套(基础)讲义

1/125第一章集合与简易逻辑第1课时集合的概念及运算【考点导读】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4.集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}xyxyxyZ用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．2.设集合{21,}AxxkkZ，{2,}BxxkkZ，则AB．3.已知集合{0,1,2}M，{2,}NxxaaM，则集合MN_______．4.设全集{1,3,5,7,9}I，集合{1,5,9}Aa，{5,7}ICA，则实数a的值为____8或2___．【范例解析】例.已知R为实数集，集合2{320}Axxx.若RBCAR，{01RBCAxx或23}x，求集合B.分析：先化简集合A，由RBCAR可以得出A与B的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1）{12}Axx，{1RCAxx或2}x.又RBCAR，RACAR，可得AB.而{01RBCAxx或23}x，{01xx或23}x.B借助数轴可得BA{01xx或23}x{03}xx.【反馈演练】1．设集合2,1A，3,2,1B，4,3,2C，则CBAU=_________．2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{PQbPaba若}6,2,1{Q，则P+Q中元素的个数是____8___个．3．设集合2{60}Pxxx，{23}Qxaxa.（1）若PQP，求实数a的取值范围；（2）若PQ，求实数a的取值范围；（3）若{03}PQxx，求实数a的值.解：（1）由题意知：{23}Pxx，PQP，QP.①当Q时，得23aa，解得3a．②当Q时，得2233aa，解得10a．综上，(1,0)(3,)a．（2）①当Q时，得23aa，解得3a；{0,2}2/125②当Q时，得23,3223aaaa或，解得3532aa或．综上，3(,5][,)2a．（3）由{03}PQxx，则0a．第2课命题及逻辑联结词【考点导读】1.了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①230x；②你是高三的学生吗？③315；④536x．其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p，否命题可表示为pq若则，逆否命题可表示为qp若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．【范例解析】例1.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1）平行四边形的对边相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分；（3）设,,,abcdR，若,abcd，则acbd.分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设,,,abcdR，若,abcd，则acbd；真命题；逆命题：设,,,abcdR，若acbd，则,abcd；假命题；否命题：设,,,abcdR，若ab或cd，则acbd；假命题；逆否命题：设,,,abcdR，若acbd，则ab或cd；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即p时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；（3）p：方程210xx的两实根的符号相同，q：方程210xx的两实根的绝对值相等.分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.3/125解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p或q：方程210xx的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；p且q：方程210xx的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；非p：方程210xx的两实根的符号不同，真命题.点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p：有的四边形没有外接圆；（5）p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“,()xMpx”的否定是“,()xMpx”，特称命题“,()xMpx”的否定是“,()xMpx”.解：（1）p：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（2）p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3）p：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（4）p：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语等于大于小于是都是否定词语不等于不大于不小于不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的…否定词语至少有两个一个也没有某个某些…【反馈演练】1．命题“若aM，则bM”的逆否命题是__________________.2．已知命题p：1sin,xRx，则:p,sin1xRx.3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.4．命题“若ba，则122ba”的否命题为________________________．5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．（1）设,abR，若0ab，则0a或0b；（2）设,abR，若0,0ab，则0ab．解：（1）逆命题：设,abR，若0a或0b，则0ab；真命题；否命题：设,abR，若0ab，则0a且0b；真命题；逆否命题：设,abR，若0a且0b，则0ab；真命题；（2）逆命题：设,abR，若0ab，则0,0ab；假命题；否命题：设,abR，若0a或0b，则0ab；假命题；逆否命题：设,abR，若0ab，则0a或0b；真命题．第3课时充分条件和必要条件【考点导读】1.理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．若bM，则aM若ab，则221ab4/1252.从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合PQ，则P是Q的充分条件；若集合PQ，则P是Q的必要条件；若集合PQ，则P是Q的充要条件．3.会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．【基础练习】1.若pq，则p是q的充分条件．若qp，则p是q的必要条件．若pq，则p是q的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知:2px，:2qx，那么p是q的_____充分不必要___条件．（2）已知:p两直线平行，:q内错角相等，那么p是q的____充要_____条件．（3）已知:p四边形的四条边相等，:q四边形是正方形，那么p是q的___必要不充分__条件．3.若xR，则1x的一个必要不充分条件是0x．【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.xy是4,4.xyxy的___________________条件；（2）(4)(1)0xx是401xx的___________________条件；（3）是tantan的___________________条件；（4）3xy是1x或2y的___________________条件.分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为2,2.xy结合不等式性质易得4,4.xyxy，反之不成立，若12x，10y，有4,4.xyxy，但2,2.xy不成立，所以2,2.xy是4,4.xyxy的充分不必要条件.（2）因为(4)(1)0xx的解集为[1,4]，401xx的解集为(1,4]，故(4)(1)0xx是401xx的必要不充分条件.（3）当2时，tan,tan均不存在；当tantan时，取4，54，但，所以是tantan的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x且2y是3xy的____条件”，故3xy是1x或2y的充分不必要条件.点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.【反馈演练】1．设集合}30|{xxM，}20|{xxN，则“Ma”是“Na”的_必要不充分条件．2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的条件．3．已知条件2:{10}pAxRxax，条件2:{320}qBxRxx．若q是p的充分不