函数在某一个点处连续的定义

1一、函数在某一个点处连续的定义设函数f在某内有定义，若则称f在点x0连续。由于函数连续是指这个极限存在并且等于f(x0)，而极限具有局部唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性等，那同样的这个极限也有这些性质定理4.2（局部有界性）若函数f在点x0连续，则f在某内有界定理4.3若函数f在点x0连续，且f(x0)0(或0)，则对任何的正数rf(x0)(或r-f(x0))，存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0),有f(x)r(或f(x)-r)§2连续函数的性质)(0xU)()(lim00xfxfxx)(0xU2若f(x),g(x)都在点x0处连续，则根据极限的四则运算法则有即连续函数的和差仍然是连续函数即连续函数的乘积仍然是连续函数若g(x0)≠0则即在分母不为零的情况下，连续函数的商仍然是连续函数由前面我们知道y=cy=x都是连续函数，所以它们的乘积，和差都连续函数，所以反复的和差乘积得到在定义域内的每一点都连续)()())()((lim000xgxfxgxfxx)()())()((lim000xgxfxgxfxx)(/)())(/)((lim000xgxfxgxfxxnnnnaxaxaxaxP1110)()()(lim)()(lim0000xgxgxfxfxxxx3函数（P,Q是多项式）在其定义域内每一点都连续Sinxcosx也是R上的连续函数所以得到tanxcotx在其定义域内连续定理4.5对于复合函数y=g(f(x))，若函数f在点x0连续，g在点u0=f(x0)连续，则复合函数g.f在点x0连续。证明要证明复合函数gf在点x0连续，按定义，只要证明要证明这个极限等于它，按定义任给找当时因为g在u0处连续所以存在，当时，有)()()(xQxpxR))(())((lim00xfgxfgxx00||0xx|))(())((|0xfgxfg0110||uu|)()(|0ugug4又因为f在x0处连续，所以对上面的存在当时有即从而有：当时有从而由这个定理得到即10220||xx10|)()(|xfxf10|)(|uxf20||xx|))(())((|0xfgxfg))(())((lim00xfgxfgxx))(lim())(())((lim000xfgxfgxfgxxxx))(lim())((lim00xfgxfgxxxx5例如求解：这个函数可以看做是由函数sinuu=1-x2复合而得到的。由于函数sinu1-x2等都是连续函数所以其实对于公式并非一定要求里面的函数一定要是连续函数，其实只要里面的函数在x0处有极限a，至于函数在该点处的函数值是否等于这个a，以及在该点处是否有定义我们都不用管，而外面的函数在a处又连续)1sin(lim21xx00sin)1(limsin)1sin(lim2121xxxx))(lim())((lim00xfgxfgxxxx6即若则和刚才证明定理的一样：任给找当时因为g在a处连续所以存在，当时，有又因为所以对上述的存在当时有从而)()(lim)(lim0agugaxfauxx))(lim())((lim00xfgxfgxxxx00||00xx|))(lim())((|0xfgxfgxx011||au|)()(|agugaxfxx)(lim010220||0xx1|)(|axf|)())((|agxfg7即当时，有所以例求极限（1）（2）解：这个函数是由这两个函数复合得到20||xx|))(lim())((|0xfgxfgxx))(lim())((lim00xfgxfgxxxxxxxsin2lim0xxxsin2limxxuusin2,1)sin2(limsin2lim00xxxxxx2)sin2(limsin2limxxxxxx8函数在某一点处连续的一些性质:局部有界性、局部保号性、复合的连续性函数在一个闭区间上的连续的性质：定义1设f为定义在数集D上的函数，若存在x0∈D，使得对一切x∈D,都有则称f在D上有最大（最小）值，并称f(x0)为f在D上的最大（最小）值。例如函数y=sinx在闭区间上最大值是1，最小值是0是不是任何一个函数在其定义域上都有最大值、最小值呢？))()(()()(00xfxfxfxf],0[9例如函数y=x(0,1)则它既没有最大值也没有最小值函数闭区间[0,1]上也既没最大值也没有最小值定理4.6（最大、最小值定理）若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大最小值推论（有界性定理）若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有界102)1,0(1)(与xxxxg10定理4.7（介值定理）设函数f在闭区间[a,b]上连续，且,若u为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a)uf(b)或f(a)uf(b)）,则至少存在一点,使得从而同时当异号，则必有一个正、一个负，因此0必在这个值域区间中，从而必至少有一个自变量，使得推论（根的存在定理）若函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一个点x0∈[a,b],使得f(x0)=0,即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。)()(bfaf),(0baxuxf)(0]),([)](),([),()(bafbfafbfaf则若]),([)](),([),()(bafafbfafbf则若)()(bfaf与],[0bax0)(0xf11f(a)与f(b)异号至少一个点的函数值为0一般地，，I是一个区间，但未必是一个闭区间，函数y=f(x)在I上连续，任意取，因为函数在I上连续，从而在闭区域[c,d]上连续，因此，由闭区间上的介值定理有，这说明任意的两个不同的函数值所组成这个区间都包含在这个函数的值域中，所以值域是一个区间，即I是区间，且f在I上连续，则函数的值域也是一个区间。Ixxfy),()()(,,dfcfIdc若)()](),([Ifdfcf12闭区间上连续的函数，有最大值M,最小值m,从而区间为[m,M]必包含在f(I)中，又函数值最大就是M，最小是m，所以值域最大也就能为[m,M],因此f(I)=[m,M]若函数在这个区间是增函数，则最大值为f(b),最小值为f(a),因此值域为[f(a),f(b)]，若是减函数，则值域为[f(b),f(a)]闭区间上连续函数的几点性质，最大最小值定理，有界性定理，根的存在定理13例3证明：若r0,n为正整数，则存在唯一正数x0，使得（称为r的n次正根(即算术根)，记作）证明：存在性:要证明存在一个数x0，使得，利用介值定理来证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数，根据所要证明的式子，我们构造函数由于0n=0,所以存在正数a，使得考虑函数则这个函数在这个闭区间上连续且f(0)rf(a)由介值定理，存在，使得再证唯一性设还有另一个整数x1，使得xn1=r，则有从而x0=x1rxn0nrx0rxn0nxynxxlimrannxxf)(],0[ax),0(0axrxxfn00)(0)...)(()(11120101010nnnnnxxxxxxxx14例4设f在[a,b]上连续，满足证明：存在，使得分析，要找一个使得，即考虑用根的存在定理，作函数F(x)=f(x)-x，则F(x)在[a,b]上连续，并且由所以F(a)=f(a)-a≥0F(b)=f(b)-b≤0上面的两个不等式，若其中至少有一个成立，则命题成立。若两个不等式的等号都不成立，则这时两端的函数值异号，由根的存在定理得到，存在，使得],[]),([babaf],[0bax00)(xxf],[0bax00)(xxf0)(00xxf],[]),([babaf],[0bax00)(xxf15连续函数的复合是连续函数，连续函数若存在反函数时，反函数是否连续？？定理4.8若函数f在[a,b]上严格单调并连续，则反函数f-1在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续证明：不妨设f在[a,b]上严格增，由于f是单调函数，所以f有反函数f-1，并且由闭区间上连续函数性质得到，f的值域为[f(a),f(b)]，从而f-1的定义域为[f(a),f(b)]任取对端点一样证明往下证明在该点处连续，即：即任给的找当时有))(),((0bfafy)()(lim0110yfyfyy00||0yy|)()(|011yfyf16设即在x0的左右两侧分别取x1,x2,且使得设根据函数是单调递增，所以取则当时，有所以所以反函数f-1连续)(010yfx)(00xfy||10xx||20xx)(11xfy)(22xfy111)(xyf221)(xyf201yyy},min{1002yyyy||0yy211)(xyfxx|||)()(|0011xxyfyf17例5由于y=sinx在区间上严格单调且连续，故其反函数y=arcsinx在区间[-1,1]上连续同样y=arccosx在[-1,1]上连续y=arctanx在上连续例6y=xn(n为整数)在[0,+∞)上严格单调且连续，故其反函数在[0,+∞)连续，而可以看做的复合，而这两个函数都是连续函数，所以这个函数也连续所以得到（q为非零整数）是其定义域区间上的连续函数]2,2[nxy1nxy1xuuyn1,qxy118例证明：有理幂函数在其定义区间上连续证明：是有理数，所以可以表示为，这里p,q都是整数，所以可以看做由与，而这两个函数都是连续函数，所以这个函数是连续函数。xyqpqpxxyquy1pxu19练习6-10作业920练习P91-8作业P9721练习P91-8作业P9722练习P91-8作业P9723练习P91-8作业P9724练习P91-8作业P9725练习P91-8作业P9726练习P91-8作业P9727练习P91-8作业P9728练习P91-8作业P9729练习P91-8作业P9730练习P91-8作业P9731练习P91-8作业P9732练习P91-8作业P9733练习P91-8作业P9734练习P91-8作业P9735练习P91-8作业P9736练习P91-8作业P9737练习P91-8作业P9738练习P91-8作业P9739练习P271240P27练习2-8作业2（1）（2）