函数极值的理论及其应用

2014届本科毕业论文（设计）论文题目：函数极值的理论及其应用所在院系：数学科学学院所学专业：数学与应用数学完成时间：2014-05-20函数极值的理论及其应用摘要函数的极值不仅是反映函数性态的一个重要特征，而且在解决实际问题中也占有极其重要的地位。很多经济和生活中的问题都可以转化为数学中的函数极值问题进行讨论，从而得到该问题的最优方案。本文主要探讨函数极值的理论及求解方法，并附以相应的例子阐明函数极值在实际问题中的应用，重点探讨一元函数和多元函数的极值理论及应用等问题。关键词：函数极值，多元函数，极值应用TheExtremeValueTheoryofFunctionanditsApplicationsAbstractTheextremevalueisnotonlyasignificantcharacteristicofafunction,butalsoplayanimportantroleinsolvingpracticalproblems.Alotofproblemsintheeconomyandlifecanbetransformedintothefunctionextremumproblems,thustheoptimalsolutionoftheseproblemscanbeobtained.Thisthesismainlydiscussesthetheoryanditscorrespondingsolvingmethodsofthefunctionextremevalue,togetherwiththecorrespondingextremevaluetheorytopracticalproblemsintheapplication.Themaincontentsfocusonthetheoryandapplicationsofthesinglevariablefunctionsandmultivariatefunctions.Keywords:Functionextremevalue,Multivariatefunctions,Applicationofextremevaluetheory目录一、引言............................................................1二、一元函数极值理论及其判别方法....................................22.1一元函数极值的概念..........................................22.2一元函数极值的判定..........................................22.3一元函数极值的求解..........................................3三、多元函数的极值理论及其判别方法..................................33.1二元函数极值的概念..........................................33.2二元函数极值的判定..........................................33.3二元函数两类极值的求解......................................43.4n元函数极值的概念...........................................63.5n元函数极值的判定...........................................63.6n元函数两类极值的求解.......................................7四、函数极值理论的应用..............................................94.1一元函数极值的应用..........................................94.2二元函数极值的应用.........................................104.3n元函数极值的应用..........................................114.4函数极值在经济生活中的应用.................................12五、结论...........................................................13参考文献...........................................错误!未定义书签。谢辞...............................................................141一、引言1.1概论函数极值作为函数性态的一个重要特征，无论是在数学领域还是其他学科领中都有着不可替代的地位。在这样快速发展的时代，许多现实生活中的问题的解决最终都归结于求极值或最值问题，以尽可能达到人们的预期效果。为此我们通常把实际问题通过数学建模等形式建立与函数之间的联系，从而通过函数性态或函数特征来求得最优解。由此可见，函数的极值理论对人们的生产、生活都有着非凡的意义，因此研究函数的极值理论就显得尤为重要。本文将系统的介绍一元函数、多元函数的极值理论。其次，将会介绍一些判别函数极值的方法。最后，会将主要结论应用于解决实际生活中的数学问题。1.2研究的背景在数学分析中的函数极值问题研究的基础上，常把极值理论在实际生活中加以推广应用。遇到实际问题时，一般先是通过对实际问题进行具体的分析，从而通过分析建立适当的函数关系再进而转化为函数中的极值问题进行研究。虽然无论是在国内还是国外，这方面的理论均已比较完备，但将它们经过系统的整理以便应用于实际生活仍很重要。1.3研究现状在函数极值理论的研究中，由于其牵涉到的变量会比较多，所以求解复杂的多元函数的极值问题有时也会比较困难。目前国内外关于函数极值的求解方法有代入法、拉格朗日乘数法、不等式法等。总体来说，函数极值问题的研究已经形成了比较完善的体系。1.4研究的目的与意义为了将数学分析中的极值原理在实际生活中得以更好的应用，故需要对此进行系统的归纳、总结。极值问题无论是在经济生活还是工农业的生产中都有着极其广泛的应用，通常应用于解决如何使投入少，而利润最大化，用料最省等问题，由于这些问题的解决能使我们更好更快的进入高水平的生活，所以极值理论在现实生活中有着不可替代的地位。2二、一元函数极值理论及其判别方法2.1一元函数极值的概念定义[1]2.1.1设函数xf在区间ba,内有定义，不妨设0x是ba,内的一个点。(1)若存在点0x的一个邻域，并且对于该邻域内的任何点x，除了点0x外，都有0xfxf恒成立，则就称0xf为函数xf的一个极小值。(2)若存在点0x的一个邻域，并且对于该邻域内的任何点x，除了点0x外，都有0xfxf恒成立，则就称0xf为函数xf的一个极大值。函数的极大值与极小值均称为函数的极值，且使函数取得极值的点称为极值点。2.2一元函数极值的判定定理[1]2.2.1极值的第一充分条件：设函数f在点0x处连续，且在某邻域;0xU上可导。(1)如果当xxx,时恒有0'xf，而当xxx,时有0'xf，则f在点x处取得极小值。(2)如果当xxx,时0'xf，当xxx,时0'xf，则f在点x处取得极大值。定理[1]2.2.2极值的第二充分条件：设函数f在0x的某邻域;xU上一阶可导，在xx处二阶可导，且0,0'00xfxf。(1)若00xf，则f在0x处取得极小值。(2)若00xf，则f在0x处取得极大值。证明：由已知条件可知，f在0x处的二阶泰勒公式20200000!21'xxxxxfxxxfxfxf，由于0'0xf.因此200012xxxfxfxf（1）又因00xf，故存在正数1，当10;xx时，021xf与1210xf同号。因此，当00fx时，（1）式取负值，从而在任给的10;xx有00fxfx。可知，f在0x处取得极大值。3定理[1]2.2.3极值的第三充分条件：设f在0x处的某邻域内存在直到n-1阶的导函数，在0x处n阶可导，且有0,1,,2,100xfnkxfnk，则(1)当n为偶数时，f在0x处取得极值，且当00nfx时取得极大值，当00nfx时取得极小值。(2)当n为奇数时，f在0x处不取极值。证明：类似于定理2.2.2的证明过程，这里省略。2.3一元函数极值的求解通常情况下，求解函数xf极值的步骤如下：(1)确定函数的定义域；(2)求驻点以及使xf'不存在的点nx；(3)判断xf'在点nx左右的正负号，并判断是否为极值点；(4)求出相应的极值。三、多元函数的极值理论及其判别方法3.1二元函数极值的概念定义[1]3.1.1设函数f在点yxP,的某邻域PU内有定义。如果对于任意点0,PUyxP，成立不等式PfPfPfPf则称函数f在点P取得极大值（极小值），点P成为f的极大（极小）值点。极大值与极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称极值点。3.2二元函数极值的判定定理[1]3.2.1二元函数极值的充分条件：设二元函数f在点yxP,的某邻域PU上具有二阶连续偏导数，且P是f的稳定点。则当PHf是正定矩阵时，f在点P取得极小值；当PHf是负定矩阵时，f在点P取得极大值；当PHf是不定矩阵时，f在P不取极值。其中PyyyxxyxxyyyxxyxxfffffPfPfPfPfPH(1)当20,0xxxxyyxyfPfffP时，f在0P取得极小值。(2)当20,0xxxxyyxyfPfffP时，f在0P取得极大值。4(3)当20xxyyxyfffP时，f在0P不能取得极大值。(4)02Pfffxyyyxx时，不能肯定f在0P是否取得极值。证明：由条件可知，f在点0P的二阶泰勒公式，且已知000PfPfyx，有22000,,21,,yxyxPHyxyxfyxff。由于0PHf正定，故对任意0,0,yx，都有二次型0,,,0fFxyxyHPxy。因此必存在一个与yx,无关的正数l，使得222,yxlyxF.因此，对任何充分小;0PU，只要;,0PUyx，必有01,,22222200lyxyxyxlyxfyxf。所以f在点00,yx取得极小值。同理，可证0PHf为负定矩阵时，f在点00,yx取得极小值。下证当0PHf为不定矩阵时，f在点00,yx不取极值。（反证法）假设f能取到极值点，不妨设能取到极小值点。可知，沿任何过点0P的直线,,00ytyyxtxxtytyxtxfyxf00,,也必取得极小值。我们有一元函数极值的充分条件可知00。又因为,,,0,2,'02yxPHyxyfyxf