弹塑性力学讲义 第十章弹性力学的能量原理

第十章弹性力学的能量原理弹性力学的解法之一为弹性力学边值问题求解体系——静力法。在前面各章中就围绕平面问题、扭转问题和空间轴对称问题进行了具体分析和研究。弹性力学问题的解法还有另一种解法：以能量形来建立弹性力学求解方程——能量法（从数学意义上说也可认为变分法）。本章主要介绍几个基本能量原理以及基于能量原理的近似解法。在介绍能量原理以前，先介绍几个基本概念和术语。第一节几个基本概念和术语1.1应变能U和应变余能Uc：应变能U在第四章中已定义过：)(ijVUWdVU应变能密度ijijijijWW0)(ijijW——弹性关系dijijij如果将几何关系引入应变能,U、W为位移的函数。应变余能（类似应变能）定义VccdVWU应变余能密度ijijijW0——单位体积的应变余能Wc与积分路径无关，只与终止状态和初始状态有关。Wc=ijij为全微分ijcijW——逆弹性关系且W+Wc=ijijijijdWij0ijijijijijd0cijijW当材料为线弹性时ijijcWW21VijijcdVUU但)(ijWW,)(ijccWW在各向同性线性材料，应力——应变关系ijkkijijE211dVEUllkkijV21)1(22——徐芝纶的弹性力学上册P.346（11－3）如在将几何关系引入上式U=U(ui)应变能是位移的函数徐芝纶的弹性力学上册P.346（11－5）ijkkijijE)1(1代入Uc表达式dVEUllkkijVc2)1(21徐芝纶的弹性力学上册P.346（11－1）1.2可能位移ui(k)和可能应变ij(k)：可能位移ui(k)：在V内连续且可微，在su上满足ikiuu)(。可能应变ij(k)：由ui(k)通过几何方程导出的)(21)(,)(,)(kijkjikijuu1.3可能应力ij(k)：可能应力ij(k)：在V内满足ij,j(k)+fi=0在s上满足)(kijjinX满足静力方程1.4虚位移ui和虚应变ij：两种可能位移ui(k1)和ui(k2)之差称为虚位移ui，而由两种可能位移状态对应的可能应变ij(k1)、ij(k2)之差ij=(ui,j+uj,i)/2在V内ui=0在su上齐次位移边界条件。1.5虚应力ij：ij=ij(k1)-ij(k2)；在V内：ij,j=0；在s上:njij=0；满足齐次静力方程。第二节虚功方程2.1虚功方程在给定体力、面力和约束情况下，如果找到两种状态:第一种状态：在给定的体力fi和面力iX，已知（找到）可能应力状态ij(k1)，在V内：ij(k1)+fi=0;在s=s:)1(kijjinX第二种状态：弹性体处于可能变形状态ui(k2)、ij(k2);在s=su:ikiuu)(2;则第一种状态外力在第二种状态可能位移作的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二种状态可能应变上作的虚变形功。——虚功原理ikijVkijkiSikiVieWdVdSuXdVufW)()()()(21222.2虚功方程的证明：dVudSundSuXjkiVkijkikijSjkiSki,)()()()()()()(212121dVudVukjiVkijkiVkjij)(,)()()(,2121)(,)(2121kjikiju)(,)(2121kijkjiudVdVukijVkijkiVkjij)()()()(,2121代入虚功方程左端，得SuSdVdVudVufWkijVkijkiVkjijkiVie)()()()(,)(21212并注意0)()()(,21dVufkiiVkjij，则We=Wi虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性质虚功方程成立。虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。第三节功的互等定理将虚功方程用于线弹性体可导出功的互等定理。同一弹性体处于两种真实状态。第一种状态：)1(if、)1(iX、)1(iu、)1(ij、)1(ij、)1(iu满足所有方程。第二种状态：)2(if、)2(iX、)2(iu、)2(ij、)2(ij、)2(iu满足所有方程。根据虚功方程第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上做功dVdSuXdVufWijVijiSiiVi)2()1()2()1()2()1(12第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上做功qP=1dVdSuXdVufWijVijiSiiVi)1()2()1()2()1()2(21对于线弹性体本构关系klijklijEklijijklklijklijijklEWE2dVdVEdVEdVijVijijklVklijijklVijklijVij)1()2()1()2()2()1()2()1(W12=W21第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所做的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上所做的功。功的互等定理优点：可以避免求解物体内的应力、应变和位移场的复杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。第一：一对力P作用在直杆的垂直方向，局部效应，在两端点伸长？第二状态：让一对力Q作用同一杆两端点，很易求得一对力Q引起杆横向缩短。对两种状态应用功的互等定理P=QQ第二状态引起的易求：AQx0zyEAQxQQxPPbEAQxzy,bEAQbyEAbPQP第四节虚位移原理和最小势能原理4.1虚位移原理运用虚功原理，但一种状态为与真实外力平衡的状态，ij、fi、iX、iu;而第二状态为可能变形状态，为真实状态位移的变分:ui、ij=(ui,j+uj,i)/2在V内ui=0在su上虚设状态根据虚功方程，真实的外力与应力状态在虚设的齐次可能位移上做功dVdSuXdVufijVijiSiiVi弹性体应力与外力处于平衡状态，对于任意虚设的齐次微小位移及应变，则外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚应变上做的虚功——虚位移方程。将虚位移方程重新改写dVudVuujiVijijjiVij,,,)(21右＝dVudVuiVjijjiVij,,)(VijijiSijjdVudSun,代入原虚位移方程0)()(,dSunXdVufiijjSiiiVjij虚位移方程为平衡方程和力的边界条件的积分形式。4.2昀小势能原理1．弹性体的总势能定义：(k)=U(k)(ui(k))+V(k)(ui(k))=(k)(ui(k))dVWWdVUVkijVk)()()(dSuXdVufVkiSikiVik)()()(（1）if和iX给定;（2）已将几何关系引入ij=(ui,j+uj,i)/2;（3）ui(k)为可能位移：iiuu在su上;（4）在各向同性线性材料应变能U的表达式为徐芝纶（上册）P.345（11－5）式。2．由(k)中寻求真实位移ui(k)为可能位移,有无穷多。因此，与其对应的势能(k)也有无穷多。要从(k)中找真实位移：（1）=0（2）引入本构关系真实位移应满足的方程。VWdVVUdSuXdVufiSiiVidVijVijdSuXdVufiSiiVi取=0，得dVijVkij)(dSuXdVufiSiiVi——虚位移方程或0)()()()(,dSnXdVufkijjSiiVikjijui(k)为可能位移，同时满足本构方程。而=0，表明由ui(k)导出ij(k)满足静力方程，所以由=0即为真解应满足的控制方程。昀小势能原理的表述：在位移满足几何方程和位移边界条件的前提下，如果由位移导出的相应应力还满足平衡微分方程和力的边界条件，则该位移必使势能为驻值（极值）。如可能位移使的变分=0，则该位移相应应力必满足静力方程。=0等价与静力方程。第五节虚应力原理和最小余能原理5.1虚应力原理1．虚应力方程运用虚功原理，但第一种状态为真实变形状态，ui和ij、fi、iX、iu;第二状态为自平衡状态的可能应力（或真实应力的变分）ij；满足：ij,j=0在V内njij=0在s上（在s上无面力）ij在su上产生Xi（在su上有反力）根据虚功方程iijVijiSieWdVdSuXWu2．虚应力方程表达弹性体（变形体）的应变与位移处于相容状态，对于任意虚设的SuSijXi齐次容许应力ij及位移边界上的虚反力Xi，虚应力在应变上做的虚功等于虚反力在给定位移iu上做的虚功。5.2昀小余能原理1．变形体的总余能c(k)已知变形体在体力fi、面力iX作用及在位移边界上有给定位移iu。定义：由可能应力状态ij(k)表示c(k)=Uc(ij(k))+Vc(Xi(k))=c(k)(ij(k))——变形的总余能而Xi(k)=njij(k)在su上（位移边界上的反力）dVWUkijVcc)()(——应变余能dSuXViSkicu)(——边界位移的余能由ij(k)导出的在su边界上的反力结构总余能c(k)由可能应力ij(k)定义。ij(k)满足在V内：ij(k)+fi=0在s=s:)(kijjinX；2．由ij(k)定义的总余能中找出真实应力ij（1）c=0（2）引入ijcijW关系式——逆弹性关系VccccdVWVUdSuXiSiudVWVijijcdSuXiSiudSundViijSjijVkiju)(c=0，即0)(dSundViijSjijVkiju——虚应力方程由于ij满足自平衡的应力状态:ij,j=0在V内，njij=0在s上；所以c=0为一个虚应力方程。则ij(k)为可能变形状态，而ij(k)已满足静力方程，由ij(k)导出的ij(k)、ui(k)满足几何方程及位移边界条件。因此，由c=0表明由ij(k)中找出真实应力ij。3．昀小余能原理表述：在应力满足平衡微分方程和应力边界条件的前提下，如果由应力导出的相应应变还满足相容条件，则该应力必使总余能c为极值；或可能应力使得总余能的变分c=0,则由该应力导出相应位移必满足相容条件。4．真实状态总势能总余能c关系：对于真实状态的dSuXdSuXdVufdVWWiSiiSiiViVccu)(0dSuXdVufdViSiiViijVij——虚功方程所以真实状态=-c第六节基于最小势能原理上的近似解法在前面几节介绍了几个昀基本的能量原理，利用能量原理求问题的解，从理论上看是明确的步骤规范,如昀小势能原理：（分两步）1．对于给定的外力和边界条件寻找满足几何方程和位移边界条件的ui(k)函数序列，并确定(k)。2．由=0寻求真解ui，即由ui(k)中找ui的控制方程，但由于问题求解域复杂性及约束的变化，利用能量原理求解析解也是无法实际进行的。但可由能量原理可以建立寻求问题近似解的有效途径。6.1李兹法（Rayleigh－Ritz）：Ritz法在昀小势能原理的运用：是由有限个可能位移序列中找近似解，当可能位移序列式越多，所得到的近似解也愈趋近于