一元三次方程与一元四次方程的解法

一元三次方程的解法第1页，共4页一元三次方程的解法对一元三次方程0023adcxbxax　，用代数方法求解其在复数域内全部解的步骤，可以分为以下三个步骤。1.通过线性变换xFy将方程变化为无二次项的三次方程03qpyy2.求解上述方程的解集3,2,1},0|{3iCyqpyyyYi　3.通过yFx1反变换求出方程的解集3,2,1},0,0|{23iCxadcxbxaxxXi　。下面就按照这三个步骤求出三次方程的解。如何变换？则设存在线性变换0khkxxFy　使得0023adcxbxax　变为03qpyy下面求解满足条件的　k和　h。将方程　＝hkxy代入03qpyy并整理得033322233qphhxpkkhxhkxk一元三次方程的解法第2页，共4页将上式与023dcxbxax比较，可得qphhdpkkhchkbka322333则可解得　k和　h：3233abhak至此，可求得变换3233abxaxFy使得023dcxbxax化为03qpyy变换后如何求解？设有方程03qpyy令333nmqmnp（其中nm）代入方程：nmynmynmymnnmnmymnnmynmynmynmynmmnyyqpyy2222222333333所以方程03qpyy一元三次方程的解法第3页，共4页的解可以归纳为nmynmynmy321其中231i，231i。下面求解m、n与p、q之间的关系，即解关于m、n的二元一次方程组333nmqmnp21的解集。2式等号两边平方得633623322nnmmnmq所以2232233344pqmnqnm故223334pqnm由此可以解得332332322322qpqnqpqm这就建立了m、n和p、q的函数关系。因此，方程03qpyy的全部解为332332333233223323321322322322322322322pqqpqqypqqpqqypqqpqqy一元三次方程的解法第4页，共4页如何进行反变换？由3233abxaxFy可知331131abyayFx于是解出333332323131131131131abyaxabyaxabyax这就是方程0023adcxbxax　在复数域内的解。XuWen,TongjiUniversity,Shanghai.Allrightsreserved.一元四次方程的解法第1页，共2页一元四次方程的解法对形如0,0234aedxcxbxax的一元四次方程，将方程等号两边同时除以最高项系数a，得0,0234aaexadxacxabx移项后有aexadxacxabx234等式两边同时加上22xab，使等号左边可以配方成完全平方式：aexadxacabxabx2222242此时，两边再同时加上22412yxabxy得*4124212222222　　　aeyxadyabxyacabyxabx若x为原方程的根，则无论y取什么值，上式总成立。特别地，若所取y值使等式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对*式对两边同时开方可以得到次数较低的方程。为使上式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，使它的判别式为0，即0414422222aeyyacabadyab这是一个关于y的一元三次方程，利用一元三次方程的求根公式解出y值，代入*后两边开方，即可将四次方程降次成为一元二次方程，再通过一元二次方程的求根公式求解，最终能解出此一元四次方程的四个复根。略去计算过程，最后可以得出一般一元四次方程的求根公式，如下所述：设关于x的一元四次方程0,0234aedxcxbxax在复数域内的四个解为分别为1x，2x，3x和4x。令一元四次方程的解法第2页，共2页aceebadbcdcaebdc72272792123223221并记aa332231232231213234432则有acabadabcabacabacababxacabadabcabacabacababxacabadabcabacabacababxacabadabcabacabacababx324484342213242143244843422132421432448434221324214324484342213242142223322224222332222322233222222223322221XuWen,TongjiUniversity,Shanghai.Allrightsreserved.