2019全国1卷理数

2019全国1卷理数一、选择题1.已知集合242{60{}MxxNxxx，，则MN=()A．{43xxB．42{xxC．{22xxD．{23xx2.设复数z满足=1iz，z在复平面内对应的点为(),xy，则()A．22+11()xyB．221(1)xyC．22(1)1yxD．22(+1)1yx3.已知0.20.32 log0.2,2,0.2abc，则()A．abcB．acbC．cabD．bca4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（510.6182，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5.函数2sin()cosxxfxxx在[,]的图像大致为()A．B．C．D．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A．516B．1132C．2132D．11167.已知非零向量,ab满足||2||ab，且()abb，则a与b的夹角为()A．π6B．π3C．2π3D．5π68.如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入()A．12AAB．12AAC．112AAD．112AA9.记nS为等差数列{}na的前n项和．已知450,5Sa，则()A．25nanB． 310nanC．228nSnnD．2122nSnn10.已知椭圆C的焦点为12(1,0)(1,0)FF,，过2F的直线与C交于,AB两点．若222AFFB，1ABBF，则C的方程为()A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy11.关于函数()sinsinfxxx有下述四个结论：①()fx是偶函数②()fx在区间(,)2单调递增③()fx在[,]有4个零点④()fx的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③12.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC△是边长为2的正三角形，,EF分别是,PAPB的中点，90CEF，则球O的体积为()A．68B．64C．62D．6二、填空题13.曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为_______.14.记nS为等比数列na的前n项和．若21461,3aaa，则5S________.15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是____________．16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,,FF过1F的直线与C的两条渐近线分别交于,AB两点．若1FAAB，120FBFB，则C的离心率为________．三、解答题17.ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,,abc设22(sinsin)sinsinsinBCABC．1.求A；2.若22abc，求sinC．18.如图，直四棱柱1111ABCDABCD的底面是菱形，14,2,60,,,AAABBADEMN分别是11,,BCBBAD的中点．1.证明：//MN平面1CDE；2.求二面角1AMAN的正弦值．19.已知抛物线2:3Cyx的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为,AB，与x轴的交点为P．1.若4AFBF，求l的方程；2.若3APPB，求AB．20.已知函数()sinln(1)fxxx，()fx为()fx的导数．证明：1.()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；2.()fx有且仅有2个零点．21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X．1.求X的分布列；2.若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，i(i0,1,,8)p表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，81p，ii1ii1papbpcp(i1,2,,7)，其中(1)aPX，(0)bPX，(1)cPX．假设0.5，0.8．(i)证明：i1i{}pp(i0,1,2,,7)为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性．22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．1.求C和l的直角坐标方程；2.求C上的点到l距离的最小值．23.[选修4—5：不等式选讲]已知,,abc为正数，且满足1abc．证明：1.222111abcabc；2.333()()()24abbcca．参考答案一、选择题1.答案：C解析：2.答案：C解析：3.答案：B解析：4.答案：B解析：5.答案：D解析：6.答案：A解析：7.答案：B解析：8.答案：A解析：9.答案：A解析：10.答案：B解析：11.答案：C解析：12.答案：D解析：二、填空题13.答案：3yx解析：14.答案：1213解析：15.答案：0.18解析：16.答案：2解析：三、解答题17.答案：1.由已知得222sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得222bcabc．由余弦定理得2221cos22bcaAbc．因为0180A，所以60A．2.由1知120BC，由题设及正弦定理得2sinsin1202sinACC，即631cossin2sin222CCC，可得2cos602C．由于0120C，所以2sin602C，故sinsin6060CCsin60cos60cos60sin60CC624．解析：18.答案：1.连结1,BCME．因为,ME分别为1,BBBC的中点，所以1//MEBC，且112MEBC．又因为N为1AD的中点，所以112NDAD．由题设知11//ABDC，可得11//BCAD，故//MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，//MNED．又MN平面1EDC，所以//MN平面1CDE．2.由已知可得DEDA．以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(2,0,0)A，12,()0,4A，(1,3,2)M，(1,0,2)N，1(0,0,4)AA，1(1,3,2)AM，1(1,0,2)AN，(0,3,0)MN．设(,,)mxyz为平面1AMA的法向量，则1100mAMmAA，所以320,40xyzz．可取(3,1,0)m．设(,,)npqr为平面1AMN的法向量，则10,0nMNnAN．所以30,20qpr．可取(2,0,1)n．于是2315cos,||||525mnmnmn，所以二面角1AMAN的正弦值为105．解析：19.答案：1.设直线11223:,,,,2lyxtAxyBxy．由题设得3,04F，故1232AFBFxx，由题设可得1252xx．由2323yxtyx，可得22912(1)40xtxt，则1212(1)9txx．从而12(1)592t，得78t．所以l的方程为3728yx．2.由3APPB可得123yy．由2323yxtyx，可得2220yyt．所以122yy．从而2232yy，故211,3yy．代入C的方程得1213,3xx．故4133AB．解析：20.答案：1.设()()gxf'x，则1()cos1gxxx，21sin())(1x'xgx.当1,2x时，()g'x单调递减，而(0)0,()02g'g'，可得()g'x在1,2有唯一零点，设为.则当(1,)x时，()0g'x；当,2x时，()0g'x.所以()gx在(1,)单调递增，在,2单调递减，故()gx在1,2存在唯一极大值点，即()f'x在1,2存在唯一极大值点.2.()fx的定义域为(1,).（i）当(1,0]x时，由1知，()f'x在(1,0)单调递增，而(0)0f'，所以当(1,0)x时，()0f'x，故()fx在(1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0x是()fx在(1,0]的唯一零点.（ii）当0,2x时，由1知，()f'x在(0,)单调递增，在,2单调递减，而(0)=0f'，02f'，所以存在,2，使得()0f'，且当(0,)x时，()0f'x；当,2x时，()0f'x.故()fx在(0,)单调递增，在,2单调递减.又(0)=0f，1ln1022f，所以当0,2x时，()0fx.从而，()fx在0,2没有零点.（iii）当,2x时，()0f'x，所以()fx在,2单调递减.而02f，()0f，所以()fx在,2有唯一零点.（iv）当(,)x时，ln(1)1x，所以()0fx，从而()fx在(,)没有零点.综上，()fx有且仅有2个零点.解析：21.答案：1.X的所有可能取值为1,0,1.(1)(1),PX(0)(1)(1),PX(1)(1),PX所以X的分布列为2.（i）由1得0.4,0.5,0.1abc.因此ii1ii1=0.4+0.5+0.1pppp，故i1iii10.10.4pppp，即i1iii14pppp.又因为1010ppp，所以i1i(i0,1,2,,7)pp为公比为4，首项为1p的等比数列．（ii）由i可得8887761008776101341ppppppppppppppp.由于8=1p，故18341p，所以444332211