一元一次方程应用题专题等积变形问题【东湖中学】

愿大家乘风破浪，在数学的海洋里自由翱翔驶向胜利的彼岸等积变形问题名称图形正方形三角形梯形圆平行四边形用字母表示公式周长（C）面积（S）aahabhrbccdahS21hbaS)(212rSrC2dcbaCcbaCaC42aS你会填下表中各图形的周长和面积公式吗？ahb)(2baCahS名称图形正方体长方体圆柱体圆锥体用字母表示公式体积（V）a3aV你会填下表中各图形的体积公式吗？abcrhrhabcVhrV2hrV231一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到0.1厘米，π=3.14）分析：变形过程中体积保持不变，即长方形的体积=圆柱的体积例如图，用直径为200毫米的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为300毫米、300毫米和80毫米的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积=底面积高线长.计算时取3.14.要求结果误差不超过1毫米）？200x80300300精讲例题80300300精讲例题200x分析思考1：题目中有哪些已知量和未知量？它们之间有什么关系？如何设未知数？已知：圆钢直径（200mm）、长方体毛胚的长宽高（300mm、300mm、80mm）未知：圆钢的高相等关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积设未知数：设应截取圆钢x毫米。一、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系，用字母（例如x）,表示问题里的未知数；80300300精讲例题200x分析思考2：如何用字母（未知数x）表示圆钢的体积？圆钢的体积=（200/2)2x立方毫米.二、用含未知数x的一次式表示有关的量；80300300精讲例题200x分析思考3：如何根据等量关系“圆钢体积=长方体毛胚的体积”列出方程？根据等量关系列出方程，得：•（200/2)2•x=300×300×80三、根据等量关系列出方程；80300300精讲例题200x分析思考4：如何解这个方程？•（200/2)2•x=300×300×80化简的3.14x=720，故x≈230。四、解方程，求出未知数的值；80300300精讲例题200x分析五、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.答：略。1.将一个底面直径为10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？锻压等量关系：变形前的体积=变形后的体积练习2.已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,高线长为1.5m,里面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高线长为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少?1.5m5dm0.5m3dm练习分析：根据以上演示我们知道了它们的等量关系：水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积圆柱形体积公式是_______,水升高后的体积小铁块的体积（__________）（_________)解：设水面将升高x米,根据题意得方程为：___________________解这个方程：__________答：______________________r2h0.52x0.32×0.50.52x=0.32×0.5x=0.18容器内水面将升高0.18m。小结：说说列方程解应用题的一半步骤：列一元一次方程解应用题的一般步骤：1、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系，用字母（例如x）,表示问题里的未知数.2、用字母的一次式表示有关的量.3、根据等量关系列出方程.4、解方程，求出未知数的值.5、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.用一根直径12厘米的圆柱形铅柱，铸造10只直径12厘米的铅球，问应截取多长的铅柱？（球的体积=π）34R3分析：变形过程中体积保持不变，即圆柱形铅柱的体积=10只铅球的体积解：设应截取X厘米长的铅柱。根据题意，列方程得解得经检验，符合题意。答：应截取80厘米长的铅柱。80xπ··x＝）（212210·π·34）（2123在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离？圆柱形瓶内装满水，则水的体积为:(立方厘米)圆柱形玻璃杯的容积为:(立方厘米)因为：答；圆柱形玻璃杯装不下，圆柱形瓶内仍剩余部分的水。5.11218)25(29010)26(2解：90112.5所以可得到相等关系：圆柱形瓶内剩余水的体积=圆柱形瓶内装满水的体积-玻璃杯里的水的体积在变形过程中水的总体积保持不变。分析：解：设圆柱形瓶内的水面还有x厘米高，则剩余水的体积为。立方厘米x2)25(90-112.5)25(2x根据题意，列方程得解得3.6x经检验，符合题意。答：不能完全装下，瓶内水面还有3.6厘米。例1如图,用直径为200ｍｍ的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm、300mm和90mm的长方体毛坯，至少应截取多少毫米的圆柱体钢（计算时π取3.14，结果精确到1mm)?把圆柱体钢锻造成长方体毛坯，虽然形状发生改变，但锻造前后的体积是相等。圆柱体体积=长方体体积x分析φ20030090300圆柱体体积=？长方体体积=?xhrV22220014.390300300abcV解设应截取圆柱形钢Xmm.根据题意，得方程解方程，得x≈258答：应截取约258mm的圆柱体钢。90300300220014.32x•例2、一个梯形下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm2,求上底。解设梯形的上底为xcm,则上底为（x+2）cm根据题意，得405221xx解方程，得x=7答：梯形的上底为7cm。梯形的面积公式是什么•1、用一根长60m的绳子围成一个矩形，使它的长是宽的1.5倍，长和宽各是多少？动手做一做•2、用直径为4厘米的圆柱体钢，铸造3个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆柱形钢？动手做一做用底面20cm×20cm长方体容器（已注满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体铁盒内倒水。当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降多少？动手做一做如图，有A、B两个圆柱形容器，A容器的底面积是B容器底面积的2倍，B容器的壁高为22cm.已知A容器内装有高为10cm的水，若把这些水倒入B容器，水会溢出吗？AB动手做一做变形前的体积=变形后的体积:注意有关圆柱、圆锥、球等体积变换问题中,经常给的条件是直径,而公式中的是半径,不注意这一点就会犯错误。用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。（1）如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；（2）如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；（3）比较（1）、（2）所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？分析：变形过程中周长保持不变，32