数值计算方法马东升等第2版习题解答精编版

1/233第1章数值计算引论1．1内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。1．截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。例如，要计算级数1!1!1!31!211kkn的值，当用计算机计算时，用前n项（有限项）的和nkkn1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n项后边的无穷多项，因而产生了截断误差1!1nkk2．舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。例如，用3.14159表示圆周率时产生的误差0.0000026„,用0.33333表示13的运算结果时所产生的误差13-0.33333=0.0000033„都是舍入误差。二．近似数的误差表示1．绝对误差设x*是准值x的一个近似值，称**)(xxxe为近似值x*的绝对误差，简称误差。令|)(|*xe的一个上界为*，即***|||)(|xxxe把*称为近似数*x的绝对误差限，简称误差限。2/2332．相对误差设*x是精确值x的一个近似值，称xxxxxe**)(为近似值x*的相对误差。在实际应用中常取***)(xxxxer为*x的相对误差。令相对误差绝对值|)(|*xer的一个上界为*r，即****|||||)(|rrxxxxe把*r称为近似数*x的相对误差限。3．有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。设数x的近似值mnxxxx10.021*，其中，ix是0~9之间的任一个数，但ix0，ni,2,1是正整数，m是整数，若nmxx1021||*则称*x为x的具有n位有效数字的近似值，*x准确到第n位，nxxx,,,21是*x的有效数字。有效数字位数越多，绝对误差越小。4．有效数字和相对误差若近似值mnxxxx10.021*具有n位有效数字，则其相对误差)1(1*1021||nrxe有效数字位数越多，相对误差越小。若近似值mnxxxx10.021*的相对误差3/233)1(1*10)1(21||nrxe则该近似数*x至少有n位有效数字。三．数值计算误差分析1．函数运算误差设一元函数)(xf，自变量x的近似值为*x，函数)(xf的近似值为)(*xf，则函数)(xf的绝对误差限)(|)(|)]([***xxfxf相对误差限)(|)()(|)]([****xxfxfxfr设多元函数),,,(21nxxxfy，自变量nxxx,,,21的近似值为**2*1,,,nxxx，函数y的近似值为),,,(**2*1*nxxxfy，则函数y的绝对误差限)(|)(|)(*1**xxfynii相对误差限**1**)(|)(|)(yxxfynii上二式中inixxxxfxf),,,()(**2*1*2．算术运算误差以21,xx两数为例，设*2*1,xx分别为准确值21,xx的近似值，其误差限分别为)(),(*2*1xx，则)()(),(*2*1*2*1xxxx)(||)(||)(*1*2*2*1*2*1xxxxxx4/2330,)()(||)(||)(*22*2*1*2*2*1*2*1xxxxxxxx三．数值稳定性和减小运算误差1．数值稳定性在数值计算过程中，舍入误差在一定条件下能得到控制，或者说是舍入误差的增长不影响产生可靠的结果，则该计算是数值稳定的，否则是数值不稳定。在实际计算时，要选用数值稳定的方法，不稳定的数值方法不能使用。2．减小运算误差（1）避免相近的数相减，防止有效数字位数损失。（2）防止大数“吃掉”小数，保护重要的物理参数。（3）绝对值小的数不宜做除数。（4）简化计算步骤，减少运算次数。1．2习题及解答1．已知=3.141592654S，问：（1）若其近似值取5位有效数字，则该近似值是多少？其误差限是多少？（2）若其近似值精确到小数点后面4位，则该近似值是什么？其误差限是什么？（3）若其近似值的绝对误差限为5105.0,则该近似值是什么？解（1）近似值*=3.1416，误差限4*1021。（2）和（1）相同，*=3.1416，4*1021。（3）*=3.14159。2．下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，求各数的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。（1）3580解绝对误差限5.010210*。相对误差限%014.0104.135805.0||4***xr。经过四舍五入得到的近似值3580，其各位都是有效数字，故有4位有效数字。（2）0.0476解绝对误差限44*105.01021。5/233相对误差限%11.000105.00476.0105.0||4***xr。经过四舍五入得到的近似值0.0476，其各位都是有效数字，故有效数字的位数为3位。（3）30.120解绝对误差限0005.010213*相对误差限%0017.0120.300005.0||***xr经过四舍五入得到的近似值30.120，其各位都是有效数字，故有效数字的位数为5位。（4）5103012.0解绝对误差限954*105.0101021相对误差限%017.0103012.0105.0||59***xr经过四舍五入得到的近似值5103012.0，其各位都是有效数字，故有效数字的位数为4位。1．确定圆周率如下近似值的绝对误差限、相对误差限，并求其有效数字的位数。（1）722解722=3.142857„，=3.141592„。|-722|=|3.141592„-3.142857„|=0.001264„，取绝对误差*e=0.0013，则相对误差%04138.00013.0||***xeer或取绝对误差限2*1021005.0。因为m=1，m-n=-2，所以n=3，有3位有效数字。此时相对误差限%159.0314.01021||2***xr。又解，相对误差限%17.010321)13(*r。前者比后者更精确。（2）712236/233解71223=3.14084„，=3.14159„。|-71223|=|3.14159„-3.14084„|=0.00075„，取绝对误差*e=0.00076，则相对误差%02419.000076.0||***xeer或取绝对误差限2*1021005.0。因为m=1，m-n=-2，所以n=3，有3位有效数字。此时相对误差限%159.0314.01021||2***xr。又解，相对误差限%17.010321)13(*r。前者比后者更精确。（3）113355解113355=3.14159292„，=3.14159„。|-113355|=|3.141592654„-3.141592920„|=0.000000266„，取绝对误差*e=0.000000267，则相对误差%0000085.0000000267.0||***xeer或取绝对误差限6*10210000005.0。因为m=1，m-n=-6，所以n=7，有7位有效数字。此时相对误差限%0000159.0314.01021||6***xr。又解，相对误差限%000017.010321)17(*r。前者比后者更精确。设x=108.57tln，其近似值*x的相对误差1.0)(*xe，证明*t的相对误差%1.0)(*ter。证)(*xe=108.57（lnt-lnt*）=108.57ln(*tt)0.10*tt57.1081.0e7/233%1.01021.911)(457.1081.0****etttttter。1．要使6近似值的相对误差限小于0.1%，需取几位有效数字？解方法1：因为6=2.4494„，有1x=2，设近似值*x有n位有效数字，由定理)1(1*1021nrx有%1.010221)1(n3)1{1011041n比较不等式141，所以n-1=3，n=4，故取4位有效数字，*x=2.449。方法2：根据相对误差限||***xr，有||***xr，所以*3310210005.00012247.0449.21021即m-n=-3，由于m=1，所以n=4，故取*x=2.449。方法3：解法1和解法2的结果都是偏于保守的。在解法1中，对定理所有具有n位有效数字的近似值都正确，故对误差估计偏大；在解法2中，取绝对误差限确定有效数字n位是偏大的。对于本例题，根据上述的结论，试取3位有效数字2.45进行试算，其相对误差%1.0000208.045.2|45.26|实际已满足要求。1．已知近似数*x的相对误差限为0.3%，问*x至少有几位有效数字？解由*r=0.3%，根据定理，有0.3%=)1(110)1(21nx1x的取值范围是1~9，由于1x未给出，取1x=1，n=2.92；取1x=9，n=2.22，按量不利的情况，*x至少有2位有效数字。2．设x0，其近似数*x的相对误差限对，求*lnx的绝对误差和相对误差。8/233解由函数运算的误差限***|)(|)]([xfxf，并考虑到x0，有*****)(ln))(ln(xxx或解|ln||ln||lnln|)(ln******xxxxxxxxx=|)1ln(||1ln|**xxx由函数运算的相对误差限****|)()(|)]([xfxfxfr，有|ln||ln1||ln)(ln|)(ln********xxxxxxr8．计算球体积334rV时，为使V的相对误差不超过0.3%，问半径r的相对误差允许是多少？解设r的近似值为*r，V的近似值为*V解法1：根据定义3*3*33*3*3*343434)(rrrrrrVer=2*2**2**rrrrrrrr注意到2*rr，有)(33)()(*2*2***rerrreVerrr令|%3.0|)(3||)(**reVerr，可知半径r允许的相对误差%1.0|)(*Ver。解法2：利用数值运算误差估计公式（下面公式用r和V表示也可）)(4)()34()(23rrrrV%3.0|)(|334)(4|)(||)(|32rrrrVVVrr9/233可得半径r的允许相对误差为%1.03%3.0|)(|rr9．真空中自由落体运动距离s和时间t的关系221gts，并设重力加速度g是准确的。而对t的测量有1.0s的误差，证明当t增加时，距离s的绝对误差增加，而相对误差却减少。解由221gts得ds=gtdt，因而)()(**tgtese)(221)()(***tetgttgteser于是|)(||)(|**tegtse|)(|2|)(|**tetser可见，当|)(|te固定时，|)(|*se随着t的增加而增加，而|)(|ter却随着t的增加而减少。10．求积分值108,,1,0,5ndxxxInn。解由10110111555ndxxdxxxxIInnnnn可得两个递推计算方法。方法1：8,,2,1,511nInInn方法2：1,,7,8),1(511nInInn方法1的初值1001823.02.1ln5dxxxIn方法2的初值，利用广义积分中值定理]1,0[,515