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第四章导数应用导学固思...知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求函数的单调性与极值1.认识导数对于研究函数的变化规律的作用2.会用导数的符号来判断函数的单调性3.会利用导数确定函数的极值点和最值点能直观了解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),会求一些实际问题的最大值和最小值,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性在实际问题中的应用1.进一步体会函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型2.联系实际生活和其他学科,进一步体会导数的意义3.从实际情境中抽象出一些基本的用导数刻画的问题,并加以解决导学固思...第1课时导数与函数的单调性导学固思...1.探索函数的单调性与导数的关系.2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.导学固思...对于函数y=x3-3x,如何判断单调性呢?你能画出该函数的图像吗?定义法是解决问题的最根本方法,但定义法较繁琐,又不能画出它的图像,那该如何解决呢?导学固思...问题1增函数和减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是.(如图(1)所示)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是.(如图(2)所示)单调增函数单调减函数导学固思...单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就说这个函数在这个区间M上具有,区间M称为.判断函数的单调性有和,图像法是作出函数图像,利用图像找出上升或下降的区间,得出结论.奇函数在两个对称的区间上具有的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有的单调性.定义法是利用函数单调性的定义进行判断,通过设变量、作差、变形、定号,得出结论.作图并观察函数的图像,找出图像上升(或下降)的起点和终点的坐标,从而得出单调递增(或递减)区间.单调性图像法定义法问题3单调区间问题2相同相反横导学固思...问题4根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某个区间(a,b)内求函数单调区间的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f'(x).(3)解不等式f‘(x)0或f’(x)0,如果f‘(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递;如果f’(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递.(4)写单调区间.增减导学固思...下列函数在(0,+∞)上是增函数的是().A.y=-x2B.y=-xC.y=x2-xD.y=x21D【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数y=x2在(0,+∞)上是增函数.导学固思...函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减情况为().A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数y=2-3x2在区间(-1,1)上先增后减.也可通过导数研究,对于函数y=2-3x2,y'=-6x,故当x∈(-1,0)时,y'0,函数递增;当x∈(0,1)时,y'0,函数递减.2C如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么a的取值范围是.【解析】已知函数的图像为开口向上的抛物线,对称轴为x=1-a,若在区间(-∞,4]上是减函数,则1-a≥4,故a≤-3.3(-∞,-3]导学固思...4【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数在[12,+∞)上是增函数,在(-∞,12)上是减函数,所以函数y=x2-x的单调递增区间为[12,+∞),单调递减区间为(-∞,12).也可通过导数研究,对于函数y=x2-x,y'=2x-1,当x∈[12,+∞)时,y'0,是增函数;当x∈(-∞,12)时,y'0,是减函数.所以,函数y=x2-x的单调递增区间为[12,+∞),单调递减区间为(-∞,12).求函数y=x2-x的单调区间.导学固思...求函数的单调性与其导函数正负的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.导学固思...(续表)【解析】(1)函数y=x的定义域为R,并且在定义域上是增函数,其导数y'=10.(2)函数y=x2的定义域为R,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.而y'=2x,当x0时,其导数y'0;当x0时,其导数y'0;当x=0时,其导数y'=0.(3)函数y=x3的定义域为R,在定义域上为增函数.而y'=3x2,若x≠0,则其导数3x20,当x=0时,其导数3x2=0.(4)函数y=1x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减,而y'=-1x2,因为x≠0,所以y'0.导学固思...7利用导数求函数的单调区间已知函数f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间.【解析】∵f(x)=ex-ax-1,∴f'(x)=ex-a.令f'(x)≥0,得ex≥a,当a≤0时,有f'(x)0在R上恒成立;当a0时,有x≥lna.综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a0时,f(x)的单调增区间为[lna,+∞).导学固思...利用函数单调性求参数的范围已知函数y=x2+ax在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】y'=2x-ax2=2x3-ax2.∵函数y=x2+ax在[1,+∞)上为增函数.∴2x3-ax20,x∈[1,+∞),即2x3-a0,a2x3.即要使a2x3在x∈[1,+∞)上恒成立.而函数g(x)=2x3在[1,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=2,∴a2.又当a=2时,y'=2x3-2x2,对x∈[1,+∞),也有f'(x)0.∴当a=2时,y=x2+ax在[1,+∞)上也是增函数.综上所述,函数y=x2+ax在[1,+∞)上单调递增时,实数a的取值范围是a≤2.导学固思...已知函数f(x)的导函数f'(x)=ax2+bx+c的图像如下图所示,则函数f(x)的图像可能是().【解析】由导函数图像可知当x0时,f'(x)0,函数f(x)递减,排除A、B.又当x=0时,f'(0)=0,所以选D.D导学固思...判断下列函数的单调性,并求出单调区间.(1)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);(2)f(x)=2x3+3x2-24x+1.【解析】(1)因为f(x)=sinx-x,x∈(0,π),f'(x)=cosx-10,所以,函数f(x)=sinx-x在(0,π)上是减函数,递减区间为(0,π).(2)因为f(x)=2x3+3x2-24x+1,所以f'(x)=6x2+6x-24.当f'(x)0,即x-17+12或x17-12时,函数f(x)=2x3+3x2-24x+1是增函数;当f'(x)0,即-17+12x17-12时,函数f(x)=2x3+3x2-24x+1是减函数.递增区间为(-∞,-17+12)和(17-12,+∞),递减区间为(-17+12,17-12).导学固思...已知函数f(x)=lnx+x2+ax在定义域内为增函数,求实数a的取值范围.【解析】(法一)分离参数法:由题意转化为f'(x)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,因为f'(x)=1x+2x+a=2x2+ax+1x,所以2x2+ax+1x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,即2x2+ax+1≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,即a≥[-(2x+1x)]max.因为x∈(0,+∞),所以2x+1x≥22,当且仅当x=22时取等号.因此-(2x+1x)取最大值-22,则a≥-22.所以a的取值范围为[-22,+∞).导学固思...(法二)二次函数法:由题意转化为f'(x)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,因为f'(x)=1x+2x+a=2x2+ax+1x,所以2x2+ax+1x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,即2x2+ax+1≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,即g(x)=2x2+ax+1,其开口向上,恒过定点(0,1).则Δ≤0或-a4≤0,解得a≥-22.所以a的取值范围为[-22,+∞).导学固思...B1.函数y=f(x)是定义在R上的可导函数,则“y=f(x)是R上的增函数”是“f'(x)0”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】函数y=x3,当x=0时,f'(0)=0,但y=x3是R上的增函数,故选B.导学固思...2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是().A.(13,+∞)B.(-∞,13)C.[13,+∞)D.(-∞,13]【解析】由已知函数是R上的单调函数,可得y'=3x2+2x+m≥0恒成立,判别式Δ=4-12m≤0,解得m≥13,故选C.C(0,1)【解析】定义域是(0,+∞),由y'=1-1x=x-1x0及定义域得0x1,单调递减区间是(0,1).3.函数y=x-lnx的单调递减区间是.导学固思...4.若函数y=x3+bx有三个单调区间,求实数b的取值范围.【解析】因为已知函数有三个单调区间,所以y'=3x2+b=0有两个不同的实数根,即3x2=-b有两个不同的实数根,得b0,所以实数b的取值范围是(-∞,0).导学固思...导学固思...•有关的数学名言•◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。——普林舍姆◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。——培根◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗庚◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。——卡罗斯◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。——本杰明