初中数学专题：有理数及其运算

【内部资料，请勿外传】第1页共6页专题：有理数及其运算一、知识要点1、负数的引入（1）温度是零上10℃或零下5℃；（2）运进80筐梨和运出50筐梨；2、负数的表示方法：像5，1.2，…这样的数叫做正数，它们比0大．在正数前面加上“-”号的数叫做负数，如-10，-21，…它们比0小．0既不是正数，也不是负数．3、有理数的概念：数可以分为：负整数零正整数整数和负分数正分数分数，整数和分数统称为有理数．4、有理数的分类可有两种方式：（1）负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数（2）负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数5、到现在为止，我们学过的数有：正整数，1，2，3，…；零，0；负整数，如－1，－2，－3，…；正分数，如1／2，5.3，2／3，…;负分数，如－1／2，－3.6，－6／7，…。正整数、0、负整数统称整数，正分数、负分数统称分数。6、数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素。7、数轴的画法：数轴的画法可分为四个步骤：（1）画一条水平的直线；（2）在这条直线上的适当位置取一点作为原点；（3）确定正方向，用箭头表示出来；（4）确定单位长度，用细短线画出，并对应地标注各数.8、数轴的用处：比较有理数大小一种方法。9、相反数一般地，如果两个数只有符号不同，那么我们就说其中一个是另一个的相反数，也说这两个数互为相反数．我们也特别规定，0的相反数是0．10、什么叫绝对值？在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．11、绝对值的特点有哪些？若用a表示一个数，当a是正数时可以表示成a＞0，当a是负数时可以表示成a＜0，这样，绝对值的特点可表示为：(1)如果a＞0，那么|a|＝a，一个正数的绝对值是它本身；(2)如果a＜0，那么|a|＝－a，一个负数的绝对值是它的相反数；(3)如果a＝0，那么|a|＝0，0的绝对值是0．注：|a|≥0；求解|a|，只需要去掉a的符号就行。【内部资料，请勿外传】第2页共6页12、绝对值在本节课中的应用――比较两个负数的大小由于绝对值是表示数的点到原点的距离，则离原点越远的点表示的数的绝对值越大．负数的绝对值越大，表示这个数的点就越靠左边，因此，两个负数比较，绝对值大的反而小．二、知识运用典型例题例1、下面两题是有关“正”和“负”的概念，怎样表示出来。（1）在收入和支出两项目中，若把收入定为正的，那么160元表示什么？（2）在前进和后退的军训操练中，若把后退定为负的，那么102米表示什么？例2、如果把向北的方向规定为正，那么走3.5千米,走-1.2千米,走0千米的意义各是什么？例3、（2007，四川）把下列各数分别填在相应的表示集合的圈里．例4、把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“＜”号把它们连接起来：6,5.4,3,0,25,4。例5、（2000，陕西）指出下列数轴上A、B、C、D、E、各点分别表示的是什么数，并指出各数的相反数。方法总结：【内部资料，请勿外传】第3页共6页例6、-(-2)=-|-2|=-(+1)=-|+1|=+(-7)=+|-7|=+(+3.5)=+|+3.5|=例7、已知｜x｜＝5，求x的值。（2004，上海）﹡拓展：｜x－3|＝5，求x的值.例8、绝对值小于5的整数有哪些？例9、比较87和76的大小．三、知识运用课堂训练一),选择题：1、（2006，山西大同）下面说法中正确的是（）A．“向东5米”与“向西10米”不是相反意义的量；B．如果汽球上升25米记作+25米，那么-15米的意义就是下降-15米；C．如果气温下降6℃记作-6℃，那么+8℃的意义就是零上8℃；D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么-0.05米所表示的高是0.95米．2、0是（）A.正数B.负数C.整数D.正有理数3、（2005，西安）下列说法中正确的有（）①互为相反数的两个数的绝对值相等；②正数和零的绝对值都等于它本身；③只有负数的绝对值是它的相反数；④一个数的绝对值相反数一定是负数。A、1个B、2个C、3个D、4个4、下列图中为数轴是（）A.B.-202C.-202D.-2025、（2008，海南）若一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（）【内部资料，请勿外传】第4页共6页A、负数B、正数C、非负数D、非正数二),填空题：1、用正数或负数表示下列各题中的数量：(1)如果火车向东开出400千米记作+400千米，那么火车向西开出4000千米，记作____；(2)球赛时，如果胜2局记作+2，那么-2表示_____；(3)若-4万表示亏损4万元，那么盈余3万元记作______；(4)+150米表示高出海平面150米，低于海平面200米应记作______；2、最小的自然数是，最大的负整数是，最小的非负整数是。3.不用负数，请讲出下列各题的意义。（1）某公司在2003年上半年营销情况是50万元。（2）向西走了150米。（3）运走80吨大米。4、比5小的正整数有；比—5大的负整数有．5、—π的相反数是；的相反数为其本身；x-y是的相反数；-[-(123)]的相反数是6、（2009，广西）如果｜-x｜＝9，那么x＝。三），解答题：1、把下列各数分别填在题后相应的集合中：25,0,1,0.73,2,5,87,52.29,+28。（1）正数集合：（2）负数集合：（3）整数集合：（4）分数集合：（5）正整数集合：（6）负整数集合：（7）正分数集合：2、数轴上与原点相距3个单位长度的点有几个？它们表示的数各是什么？3、某地一天中午12时的气温是6°C，傍晚5时的气温比中午12时下降了4°C，凌晨4时的温度比傍晚5时还低4°C，问傍晚5时的气温是多少？凌晨4时的气温是多少？4、正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定，下面是6个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不不足规定质量的克数）：－25，＋10，－11，＋30，＋14，－39请指出哪个排球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明提高训练【内部资料，请勿外传】第5页共6页1.（2003，南昌）已知5a，3b，求ba的值。2.（2007，武汉）已知023ba，求下列代数式的值。（1）13ba（2）baa223.（2005，上海）当1＜x＜3时，化简以下各式（1）｜x-3｜（2）｜x+1｜（3）｜x-3｜+｜x+1｜第三讲知识运用课后训练等级1、（2007，安徽）下列判断正确的有（）①｜＋2｜＝2②｜－2｜＝2③－｜－5｜＝5④｜a｜≥0A、1个B、2个C、3个D、4个﹡2.（2009，黄冈）若xx，则x一定是（）A.负数B.负数或零C.零D.正数【内部资料，请勿外传】第6页共6页3．比较下列每对数的大小：（1）53与52；（2）－｜－7｜和－（－7）（3）|—4|与—4；（4）|—（—3）|与—|—3|；（5）98与97；（6）85与117．4、（2004，山东廊坊）一个点从数轴上表示—2的点开始，向右移动4个单位长度，再向左移动5个单位长度，说明这时这个点表示的数．5、求出绝对值大于3小于213的所有正整数的和中国人最早使用负数——《九章算术》和我国古代的“正负术《九章算术》是中国古代数学最重要的经典著作之一．这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前1世纪，引进和使用负数是《九章算术》的一项突出的员献．在《九章算术》的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元（即用加减消无法解一次方程组）时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，就需要引进负数．《九章算术》在方程章中提出了组下的“正负术”：同名扫除，异名相益，正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入员之．这实际上就是正负数和零的加减运算法则．“同名”、“异名”分别指同号、异号；“相益”、“相除”分别指两数的绝对值相加、相减．