43动量矩定理

质点质点系动量定理：动量的改变—外力（外力系主矢）若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零，质心无运动，用动量定理无法描述。可是质点系却受外力的作用。质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢）动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。第十一章动量矩定理§11-2动量矩定理结论与讨论§11-5相对于质心(平移系)的质点系动量矩定理§11-6刚体平面运动微分方程§11-1质点和质点系的动量矩§11-3刚体绕定轴转动的微分方程§11-4刚体对轴的转动惯量几个有意义的实际问题谁最先达顶点？直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象？几个有意义的实际问题为什么二者转动方向相反？航天器是怎样实现姿态控制的？几个有意义的实际问题§11-1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩xozyBAFmr)(FMO回顾：力对点的矩FrFM)(OvrvMmmO)()(vMmOvmrxozyFAB质点A的动量对固定点O的矩：大小=2A△OAB；方位：过O且⊥△OAB；指向：按右手螺旋规则定。定位矢量动量对固定轴z的矩：BAOzzOAmm2)()]([vMvM)(vMmOvmrxozyFAB)(vMmzA'B'xym)(v质点动量mv在Oxy平面内的投影（mv）xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩。单位：kg·m2/s质点对于点o的动量矩在z轴上的投影，等于对z的动量矩二、质点系的动量矩质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O的主矩）：对定点niiioom1)(vML质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一轴z的动量矩的代数和，即对定轴niiizzmML1)(v矢量代数量质点系的动量矩矢Lo在直角坐标系Oxyz中的投影为：)(][)(][)(][vLvLvLmMLmMLmMLzzzoyyyoxxxo质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。对于平面问题，动量矩矢总是垂直于该平面，则可视为代数量。三、刚体动量矩计算1、平移刚体)(COCCCiiiiiOmmmmvMvrvrvrL)(CzzmMLv2、定轴转动刚体ziiniiizzJrmmML21)(v定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。转动惯量平移刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。？O[例]已知无重细杆AB两端各铰接质量为m的小球，系统绕水平O轴以角速度ω转动，求系统对O轴的动量矩。ABllωvBvA=·l=·l系统对O轴的动量矩为：22mllmllmlLo从本例可以知道，系统质心的速度虽然为零，系统对O轴的动量矩并不等于零。计算质点系的动量矩不能简单地用质心的动量对某固定点或固定轴取矩。AOLo=MC(mvC)=(mωl/2)·(l/2)=mωl2/4§11-4刚体对轴的转动惯量一、转动惯量的概念转动惯量是刚体转动时的惯性度量，等于刚体内各质点的质量与质点到轴的垂直距离平方的乘积之和，即niiizrmJ12转动惯量不仅与质量的大小有关，而且与质量的分布有关。转动惯量的量纲为dimJ=ML2在国际单位制中，转动惯量的单位是kg·m2。从转动惯量的概念，看飞轮的作用飞轮通常安装在经常受到冲击的机器上，如往复式活塞发动机、冲床和剪床等。制造飞轮时，要求尽可能将质量分布在轮缘上，以使转动惯量尽可能大，这样，机器受到冲击时，角加速度很小，从而可以保持比较稳定的运转状态。二、转动惯量的计算（计算法和实验法）1、积分法计算简单形状物体的转动惯量（1）均质细直杆质量为m，长度为l2222/2112CziillJmrmdxxmlldmrrmJniiiz21222013lAzmJdxxmllCBAlxdxxzz（2）均质薄圆环ROz22mRrmJiiOz（3）均质圆板（轮、柱）RRRRzRdO22022212mRdRmrmJRiiOz2、回转半径（或惯性半径）回转半径的定义：转动惯量与质量的比值的平方根，常用表示。mJzz2zzmJ•回转半径仅与物体的形状、尺寸有关，与材料无关。•查机械工程手册中简单几何形状或几何形状已经标准化的零件的回转半径，求Jz。讨论：3、平行轴定理z1x1y1yxzodCmirr1x1y1y=x=zz1设点C为刚体的质心，刚体对于过质心的z1轴的转动惯量为JzC，轴z∥轴z1，且相距d。[证明]：)(212121yxmrmJiizC)(222yxmrmJiiz因为x=x1，y=y1+d，所以2mdJJzCz平行轴定理：刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。2mdJJzCz（3）刚体对于通过质心轴的转动惯量最小。讨论：（2）两轴必须是相互平行；（1）zC必须是通过质心的轴；12212121212)(])([ymdmdyxmdyxmJiiiiz根据质心坐标公式01iiCmymy4、组合法当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。盘杆OOOJJJ222221)(2131RlmRmlm21,,RRm222211212121RmRmJJJzlRm222lRm211)(212221RRmJz5、实验法—不规则物件的转动惯量测量例：求对O轴的转动惯量。[方法]将曲柄悬挂在轴O上，作微幅摆动。mglJT2由其中m，l已知，T可测得，从而求得J。sin22mgadtdJO)sin(0tJmgaO§11-2动量矩定理xozyvmF)(vMmOrAB)(FMO一、质点的动量矩定理()OmmMvrvvrvrvrvMmtmtmtmtOdddddd)(dd0ddvvvrmmtFvmtdd)()(FMvMOOmdtd★质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。)()(FMvMOOmdtd★质点对某轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对于同一轴的矩。)()()()()()(FvFvFvzzyyxxMmMdtdMmMdtdMmMdtd1、质点的动量矩定理（1）质点对定点的动量矩定理（2）质点对定轴的动量矩定理2、质点的动量矩守恒定律质点对定点的动量矩守恒：)(vMmO0)(FMO若=恒矢量)(vmMz0)(FzM若=常数质点对定轴的动量矩守恒：[思考题]小球系于线的一端，线穿过铅直小孔，力F将线缓慢向下拉。开始时，小球以匀速v1沿半径为r1的圆周运动，求当小球被拉至B处(2r2=r1)时的速度v2。Br1r2Azv2v1FmgTTT∑MZ(F(e))=0，LZ=const!初瞬时(A处)，LZA=mv1r1B处，LZB=mv2r2，∴mv1r1=mv2r2v2=2v1[分析]3、质点在有心力作用下的运动问题有心力：力作用线始终通过某固定点。)(vMmO0)(FMO=恒矢量（1）与必在一固定平面内，即点M的运动轨迹是平面曲线；rvtmmddrrvr（2）常量tddrr即常量Ad2drrtAdd因此，常量质点在有心力作用下的面积速度定理二、质点系的动量矩定理设质点系内有n个质点，作用在第i个质点上的力有内力和外力，按质点的动量矩定理，有iiFeiF)()()()()(iieiiFMFMvMOOiOmdtdi=1，2，…，n对于n个质点，有n个这样的方程，将这些方程求和，则()()()()()OiOOdmdteiiiiMvMFMF0)()()(eiiFMvMOiOmdtd)()(eiFMLOOdtd1、质点系的动量矩定理★质点系对某定点O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对同一点的主矩。)()(eiFMLOOdtd（1）质点系对定点的动量矩定理（2）质点系对定轴的动量矩定理★质点系对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对同一轴的矩的代数和。)()()()()()(eizzeiyyeixxMLdtdMLdtdMLdtdFFF2、质点系动量矩守恒定律质点系对定点的动量矩守恒：OL0)((e)iFMO若=恒矢量zL0)((e)iFMz若=常量质点系对定轴的动量矩守恒：即：当外力对某定点的主矩等于零时，质点系对该点的动量矩保持不变。即：当外力对某定轴的力矩的代数和等于零时，质点系对该轴的动量矩保持不变。O[讨论题]二猴爬绳比赛。已知猴A、B质量相同，mA=mB=m。猴A比猴B爬得快。二猴分别抓住缠绕在定滑轮上的软绳两端，在同一高度从静止开始同时往上爬。不计绳子与滑轮的质量及轴承的摩擦，试分析比赛结果。分析：研究整个系统。进行受力分析。0)(grmgrmMBAOFconst0,OL质点系对轴O的动量矩守恒，且等于零。0rvmrvmBaBAaABaAavvmAgmBgFOvAvB即：二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！动量矩定理的应用•建立运动微分方程或已知外力矩求运动；•已知运动求力或力矩；•质点系动量矩守恒。解：取系统为研究对象例题1均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度。OPWvvRgWJLOOmgFOxFOyWRMe)(RvvRgWRJLOO)(应用动量矩定理)(ddeOMtLWRdtdvRgWRJO)()(22RgWJWRaO例题2两个鼓轮固连在一起，其总质量是m，对水平转轴O的转动惯量是JO；鼓轮的半径是r1和r2。绳端悬挂的重物A和B质量分别是m1和m2(图a)，且m1m2。试求鼓轮的角加速度。ABr1r2(a)取鼓轮，重物A,B和绳索为研究对象。解:v1αv2m1gBm2gddOzOzLMt系统的动量矩由三部分组成，等于222111rvmrvmJLOOz考虑到v1=r1，v2=r2，则得221122()OzOLJmrmr外力主矩仅由重力m1g和m2g产生，有1122()OzMmrmrg即得grmrmtrmrmJO)(dd)(2211222211从而求出鼓轮的角加速度grmrmJrmrmtO2222112211dd方向为逆时针。对系统应用动量矩定理，有A(b)yr1r2m0gF0PQSPABωSSSQPQPQ221at例题3图示水平圆盘重为P，半径为R，可绕z轴转动，乌龟重为Q，按S=at2/2的规律沿盘缘行走。若开始时盘的角速度为ωo，求任意瞬时t，盘的角速度和角加速度。解：研究盘和乌龟系统，受力分析如图。∵∑Mz(F(e))=0∴系统对z轴的动量矩守恒，∵初瞬时，乌龟相对于盘速度为零，只是与盘一起绕z轴转动，∴系统对z轴的动量矩为即Lz=常量！)2(2222PQgRRRgQgPRLooozozyxABFBxFByω0PQSFAyFAxFAzzyxABαSωvevr设瞬时t，盘的角速度为ω，角加速度为α，乌龟相对于盘的速度为atdtdsvr绝对速度为atRvvvrea∴系统对z轴的动量矩为RatgQPQgRRvgQgPRLaz)2(2222由Lzo=Lz得RQPQato)2(2对上式求导得RQPQadtd)2(2例题4水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为v1和v2，二者与叶轮外周边和内周边切线