1-2工程数学克莱姆法则

三、克莱姆法则本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组的求解问题nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111行列式称为方程组(＊)的系数行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211(＊)定理证明克莱姆法则如果线性方程组(＊)的系数行列式D不等于零则方程组(＊)有唯一解DDx11DDx22DDxnnnnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(＊)nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211其中Dj(j12n)是把系数行列式D中第j列的元素a1ja2janj对应地换为方程组的常数项b1b2bn后所得到的n阶行列式例1解线性方程组06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx提示克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式D不等于零则方程组有唯一解xjDj/D(j12n)因为解D27D18127811DD10124231710562614231710562610598克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式D不等于零则方程组有唯一解xjDj/D(j12n)提示27108D2D05987105626110121012423171056261因为D27D2108D181解例1解线性方程组06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式D不等于零则方程组有唯一解xjDj/D(j12n)提示2727D3D05986261101242311012423171056261因为D27D327D2108D181解例1解线性方程组06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式D不等于零则方程组有唯一解xjDj/D(j12n)提示2727D10124231710562614D0598101242317105因为D27D427D327D2108D181解例1解线性方程组06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx所以所给方程组的唯一解为克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式D不等于零则方程组有唯一解xjDj/D(j12n)因为D27D427D327D2108D181311DDx422DDx133DDx144DDx311DDx422DDx133DDx144DDx311DDx422DDx133DDx144DDx311DDx422DDx133DDx144DDx解例1解线性方程组06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx提示例2设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(13)、(24)、(33)、(43)求系数a0a1a2a3把四个点的坐标代入曲线方程得线性方程组解36416432793484233210321032103210aaaaaaaaaaaaaaaa(41)(31)(21)(42)(32)(43)12因为D12D4321169416427811111提示例2设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(13)、(24)、(33)、(43)求系数a0a1a2a3把四个点的坐标代入曲线方程得线性方程组36416432793484233210321032103210aaaaaaaaaaaaaaaa1D334343211694164278136解因为D12D13612D4321169416427811111提示例2设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(13)、(24)、(33)、(43)求系数a0a1a2a3把四个点的坐标代入曲线方程得线性方程组36416432793484233210321032103210aaaaaaaaaaaaaaaa182D3343169416427811111解因为D12D218D13612D4321169416427811111提示例2设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(13)、(24)、(33)、(43)求系数a0a1a2a3把四个点的坐标代入曲线方程得线性方程组36416432793484233210321032103210aaaaaaaaaaaaaaaa243D334364278111114321解因为D12D324D218D13612D4321169416427811111提示例2设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(13)、(24)、(33)、(43)求系数a0a1a2a3把四个点的坐标代入曲线方程得线性方程组36416432793484233210321032103210aaaaaaaaaaaaaaaa因为D12D46D324D218D13664D33431694111114321解12D4321169416427811111例2设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(13)、(24)、(33)、(43)求系数a0a1a2a3把四个点的坐标代入曲线方程得线性方程组36416432793484233210321032103210aaaaaaaaaaaaaaaa因为D12D46D324D218D136解所以方程有唯一解30a231a22a214a即曲线方程为32212233xxxy30a231a22a214a30a231a22a214a30a231a22a214a讨论常数项均为零的线性方程组称为齐次线性方程组问齐次线性方程组有什么样的解?推论如果线性方程组(＊)的系数行列式D0则方程组(＊)一定有解且解是唯一的推论如果线性方程组(＊)无解或有两个不同的解则它的系数行列式必为零nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(＊)nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211提示000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(＊＊)nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211推论如果齐次线性方程组(＊＊)的系数行列式D0则齐次线性方程组(＊＊)没有非零解定理2如果齐次线性方程组(＊＊)有非零解则它的系数行列式必为零齐次线性方程组例3问取何值时齐次线性方程组有非零解?0)4(20)6(2022)5(zxyxzyx若所给齐次线性方程组有非零解则其系数行列式D0而解402062225D(5)(6)(4)由D0得2、5或8(5)(2)(8)4(4)4(6)当2、5或8时齐次线性方程组有非零解