正弦定理余弦定理RCcBbAa2sinsinsin(R为三角形的外接圆半径)CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222ABCacb三角形边与角的关系:1801CBA、2、大角对大边,小角对小边。利用余弦定理判定三角形形状中,在ABC为直角;,则若Ccba222为锐角;,则若Ccba222为钝角;,则若Ccba222三角形的面积公式BacAbcCabSsinsinsin212121复习.下列解△ABC问题,分别属于那种类型?根据哪个定理可以先求什么元素?第4小题A变更为A=150o呢?_____________________余弦定理先求出A,或先求出B正弦定理先求出b正弦定理先求出B(60o或120o)无解(1)a=2,b=,c=3+;(2)b=1,c=,A=105º;(3)A=45º,B=60º,a=10;(4)a=2,b=6,A=30º.23633__________________________________________________________________________________________________________________________________余弦定理先求出a斜三角形的解法已知条件定理选用一般解法用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180˚,得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理由A+B+C=180˚,求出另一角,再用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边,再用余弦定理求出一角,再由A+B+C=180˚得出第三角。用余弦定理求出两角,再由A+B+C=180˚得出第三角。一边和两角(ASA或AAS)两边和夹角(SAS)三边(SSS)两边和其中一边的对角(SSA)例1.A、B两点在河的两岸(B点不可到达),要测量这两点之间的距离。(备用工具:皮尺、测角仪)测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,∠BAC=51o,∠ACB=75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m).分析:所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.ABC你能根据所学知识设计一种测量方案吗?应用一:测量距离问题解:根据正弦定理,得答:A、B两点间的距离约为65.7米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7()sin(1805175)sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCmABC变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30,灯塔B在观察站C南偏东60,则A、B之间的距离为多少?例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量两点间的距离的方法。分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小,借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。ABCCDABCD解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.sin()sin()sin()sin180()sinsinsin()sin180()aaACaaBC计算出AC和BC后,再在ABC中,应用余弦定理计算出AB两点间的距离222cosABACBCACBC在∆ADC和∆BDC中,应用正弦定理得βγδα.AB45ACB60ACD30CDBADB23CDBA两点的距离,求,,千米,定的距离,在河的这边测两点间、如图,为了测量河对岸课堂练习:ABCD30°45°30°60°分析:1.在△ABD中求AB2.在△ABC中求AB46AB变式练习:1、分析:理解题意,画出示意图2、建模:把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解:运用正弦定理和余弦定理,有顺序地解这些三角形,求得数学模型的解。4、检验:检验所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解。解斜三角形应用题的一般步骤是:课堂小结:通过本节课,你有什么收获?解决有关三角形应用性问题的思路、步骤和方法实际问题抽象概括画示意图建立数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解检验作答还原说明练习、自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m).(1)什么是最大仰角?最大角度最大角度最大角度最大角度(2)例题中涉及一个怎样的三角形?在△ABC中已知什么,要求什么?CAB练习.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m).最大角度最大角度最大角度最大角度已知△ABC中AB=1.95m,AC=1.40m,夹角∠CAB=66°20′,求BC.解:由余弦定理,得答:顶杆BC约长1.89m。CAB222222cos1.951.4021.951.40cos66203.5711.89(m)BCABACABACABC应用二:测量高度问题(1)底部不可以到达3,..ABBAAB例、是底部不可到达的一个建筑物为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度的方法,,,HGHGB解:选择一条水平基线使三点在同一条直线上。,,,HGCDa由在两点用测角仪测得A的仰角分别是,,测角仪器的高是h.sinACDAC,sin()a在中,=AB=AE+h=ACsin+hsinsin=.sin()ah(2)底部可以到达).1(,3.27'.150,'4054,400mDCmBCACAB精确到求出山高部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶、如图例应用二:测量高度问题00C,90,.ABCBAD解:在AB中,BCA=90+-,BAC=0sin()cos.sin()sin()BCBC90+根据正弦定理,AB=Rtcossin.sin()BC解ABD,得BD=ABsinBADcossin.sin()BCBCCD=BD-BC=150).m把测量数据代人,CD(150.答:山的高度约为米例5一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角8°,求此山的高度CD.分析:要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件,可以计算出BC的长。分析:要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件,可以计算出BC的长。例5一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角8°,求此山的高度CD.解:在⊿ABC中,∠A=15°,∠C=25°-15°=10°.根据正弦定理,CABABCsinsin).(4524.710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)答:山的高度约为1047米。000,,7567.5,,3254.0.,,(0.1,0.01).AnmileBBnmileCACnmile例6、如图一艘海轮从出发沿北偏东的方向航行后到达海岛然后从出发沿北偏东的方向航行后到达海岛如果下次航行直接从出发到达此船应该沿怎样的方向航行需要航行多少距离角度精确到距离精确到应用三:测量角度问题220ACABBC2ABBCcos=67.554267.554cos137=113.15ABC22根据余弦定理可知:=BCsinACCABABC根据正弦定理可知:sin0sin54sin137sin0.3255113.15BCABCCABAC000197556CABCAB答:此船应该沿北偏东560的方向航行,需要航行113.15nmile.0000ABCABC=1807532137解:在中,△ch,,,,,abcABCBCCAABhhh在中,边上的高分别记为sinsin,sinsin,sinsin.abchbCcBhcAaChaBbA可得:CBAD12Sah根据三角形的面积公式,111sin,sin,sin.222SabCSbcASacB应用四:有关三角形计算7ABCS0.12例在中,根据下列条件,求三角形的面积(精确到cm)0(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5011Ssin21S23.514.5sin148.590.92caB2解:()应用=可得=(cm)△bbsinCc=sinBsinsinBcC(2)根据正弦定理,1S221sinsinsin2sinCAbcAbB=222221sin65.8sin51.5S3.164.0()2sin62.7cm00222A=180()180(62.765.8)51.5BC0,C=65.8,3.16bcm0(2)已知B=62.77ABCS0.12例在中,根据下列条件,求三角形的面积(精确到cm)22223238.741.427.3=0.7697238.741.4abca22()根据余弦定理可得:ccosB=22sin1cos10.76970.6384BB211Ssin38.741.40.6384511.4()22caBcm应用(3)41.4,27.3,38.7acmbcmccm已知三边的长分别为例8:如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到0.1m2)解:设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理可得:2222221276888cos0.75322212768cabBac2sin10.75320.6578B211sin127680.65782840.4()22SacBm答:这个区域的面积是2840.4m2应用五:三角形恒等式证明22222ABCsinsin1si9n2在三角形中,求证:a()例:bABcC1(0)kkabC证明:()根据正弦定理可得:sinAsinBsinC222222222222sinsin=sinsinsin.sin左边右边abkAkBckCABC2222222222222222222222=2bcca+ab)222()(bcacababcbccaabbcacababcabc()根据余弦定理的推论:右边()+()==左边222ABC(2)a+b+c2(coscoscos)9例在三角形中,求证::bcAcaBabC