10.2排列组合中的分组分配问题

排列组合中的分组分配问题1.(平均分组公式）一般地平均分成n堆(组)，必须除以n!，如若部分平均分成m堆(组)，必须再除以m!，即平均分组问题，一般地来说，km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分法有故平均分配要除以分组数的全排列．kkmmmmkmkmACCC)1(种．引伸：不平均分配问题：一般来说，把n个不同元素分成k组，每组分别有,,21mmkmm3个，则不同分法为312112()kkmmmmnnmnmmmCCCC种．kmmm21,,21nmmmk互不相等，且且2.(不平均分组公式）kmmm21,如果中有且仅有i个相等,则不同的分法为：312112()kkmmmmnnmnmmmiiCCCCA种．一：均分无分配对象的问题例1：12本不同的书（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？C102C82A33C122C66(2)C84C44A33C12412!4!·8!8!4!·4!13!(1)5775知识探究•练习1：把10人平均分成两组，再从每组中选出正、副组长各一人，共有多少种选法?解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副组长．5522105552250400CCAAA由分步计数原理共有种．25A每组中选正、副组长都有种方法．5510522CCA种方法，分组有二：均分有分配对象的问题例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·（1）均分的三组看成是三个元素在三个位置上作排列C42C22A33C62A33C42C22C62•练习：9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种分法?①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法?②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分法?③每人3件，有多少种分法?④平均分成三堆，有多少种分法?⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?解：①以人为主考虑，三个人去取玩具，据分步计数原理求解．•练习：9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种分法?•①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法?由分步计数原理得1260443729CCC种．29C第1步先由甲从9件不同的玩具中选2件有种．37C第2步由乙从剩下的7件中选3件有种．44C第3步余下4件全给丙有种．•练习：9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种分法?•②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分法?•③每人3件，有多少种分法?③每人3件，即各人分得数相同，不需排列．则有33339633331680CCCAA种．756033443729ACCC故由分步计数原理有种．解：②三个人中哪个得2件、哪个得3件、哪个得4件没有确定，故这三个数字可以在甲、乙、丙中进行排列，故应在第1问的前提下再进行一步排列，有33A种．•练习9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种分法?•④平均分成三堆，有多少种分法?•⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?解：④设分三堆有x种方法，因堆与堆之间没有差异，而人却有差异，在第③问中，先分三堆再三人去拿．故有39C33222426ACCC32229642331260CCCCA⑤先分3件为一堆有种方法，然后6件平均分配应有种方法，故共有种．2801680363933xCCAx种．三：部分均分有分配对象的问题例3.12支笔按3：3：2：2：2再任意分给A、B、C、D、E五个人有多少种不同的分法？方法：（1）先分再排法。分成的组数看成元素的个数·（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列C93C62A33C123C42A22C22A55四：部分均分无分配对象的问题例4六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少种分法C64C21C11A22五、非均分组无分配对象问题例56本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不同的分法？注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用乘法原理作积C61C52C33例6六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？六、非均分组分配对象确定问题C61C52C33七、非均分组分配对象不固定问题例7六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本有多少种分法。C61C52C33A33练习11：10本不同的书（1）按2∶2∶2∶4分成四堆有多少种不同的分法？44262821033442628210CCCC)2(ACCCC(1)（2）按2∶2∶2∶4分给甲、乙、丙、丁四个人有多少种不同的分法？2、有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？（1）每人各得两本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人一本，一人两本，一人三本；（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；（5）一人四本，另两人各一本·(3)(4)(5)C52C33C61A33C52C33C61C21C11C64A31C21C11C64(2)C42C22C62(1)3、12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件，各有多少种不同的分法？（1）一人三本，一人四本，一人五本；（2）甲三本，乙四本，丙五本；（3）甲两本，乙、丙各五本；（4）一人两本，另两人各五本·C94C55C123(1)(2)(3)(4)A33C94C55C123C105C55C122A31C105C55C122