量子力学(周世勋)课后答案-第一二章

1量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度T成反比，即mT=b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式dvechvdkThvvv11833，（1）以及c，（2）||ddv，（3）有,118)(|)(||52kThcvvehccdcdddv这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m。但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具体如下：01151186kThckThcekThcehcdd20115kThcekThckThcekThc)1(5如果令x=kThc，则上述方程为xex)1(5这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhcTm把x以及三个物理常量代入到上式便知KmTm3109.2这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。31.2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知hP。所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eVcmEek621051.0），满足ekmpE22，因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有nmmmEcmhcEmhphee71.01071.031051.021024.1229662在这里，利用了meVhc61024.1，eVcme621051.0。最后，对Emhe2作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。自然单位制：在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数k）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV）。例：1nm=5.07/keV，1fm=5.07/GeV，电子质量m=0.51MeV.核子（氢原子）质量M=938MeV，温度518.610KeV.41.3氦原子的动能是kTE23（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。解：根据eVKk5106.81，知本题的氦原子的动能为,1029.123234eVKkkTE显然远远小于2c核这样，便有EcmhcHe22nmmm3.1103.11029.1107.321024.19496这里，利用了eVeVcmHe962107.3109384。最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相应的德布罗意波长就为mkThmEh22据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就不能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。51.4利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；解：玻尔—索末菲的量子化条件为：nhpdq其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为m，于是有22212kxmpE这样，便有)21(22kxEmp这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据谐振子在最大位移x处p=0，221kxE可解出kEx2。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有xxxxnhdxkxEmdxkxEm)21(2)()21(222nhdxkxEmdxkxEmxxxx)21(2)21(2222)21(22nhdxkxEmxx为了积分上述方程的左边，作以下变量代换：sin2kEx这样，便有2sin2cos2222nhkEdmE2cos2222nhdkmE2212cos222nhdkmE222nhkmE62nhkmEmknE。能量间隔mkE最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。71.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解：关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具体到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正负电子对所需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有2cmhvEe此外，还有hcpcE于是，有2cmhce612361.24102.4102.4100.5110mmnm尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。8第二章波函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令(,)()iEtrtre，得******()2[()()()()]2[()()()()]2iiiiEtEtEtEtiJmirerereremirrrrm（）（）可见tJ与无关。92.2由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrerer1)2(1)1(21说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波。解：在球坐标中11sinreeerrr所以，12rJJe和只有方向分量。**111112223(1)()21111[()()]2111111[()()]2ikrikrikrikrrrriJmieeeeemrrrrrriikikemrrrrrrkkermrmrrJ1与同向，表示向外传播的球面波。**22222223(2)()21111[()()]2111111[()()]2ikrikrikrikrrrriJmieeeeemrrrrrriikikemrrrrrrkkermrmrrJ与2反向，表示向内(即向原点)传播的球面波。102.3一粒子在一维势场axaxxxU，，，000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。补充：设已知t=0时刻波函数为112sinsin,0(,0)0,0,xxxaxaaaaxxa，求(,)xt。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S—方程)()()()(2222xExxUxdxdm在各区域的具体形式为Ⅰ：)()()()(20111222xExxUxdxdmx①Ⅱ：)()(2022222xExdxdmax②Ⅲ：)()()()(2333222xExxUxdxdmax③由于(1)、(3)方程中，由于)(xU，要等式成立，必须0)(1x3()0x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为0)(2)(22222xmEdxxd令222mEk，得0)()(22222xkdxxd其解为kxBkxAxcossin)(2④根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得)0()0(12⑤)()(32aa⑥11⑤0B⑥0sinkaA),3,2,1(0sin0nnkakaA∴xanAxsin)(2由归一化条件1)(2dxx得1sin022axdxanA由三角函数正交性0sinsin2amnmnaxxdxaaxanaxaAsin2)(22222mEk),3,2,1(22222nnmaEn可见E是量子化的。对应于nE的归一化的定态波函数为axaxaxxeanatxtEinn,,00,sin2),(补充：粒子的一般含时波函数为(,)(,)nnnxtcxt，在t=0时刻2112sin,0sinsin,0(,0)0,0,0,0,nnncxxaxxxaxaaaaaaxxaxxa所以121/2,0nccc其余，综上得任意时刻粒子波函数为1212112(,)(,)sinsin,0(,t)20,0,iiEtEtxtxtxexexaxaaaaxxa122.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是aA1证：axaxaxanAn,0),(sin2.6-14）由归一化，得aAaxannaAaAdxaxanAxAdxaxanAdxaxanAdxaaaaaaaaaan222222222)(sin2)(cos22)](cos1[21)(sin1∴归一化常数aA1132.5求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：一维谐振子第一激发态的波函数222122)(xxex，/m。得几率密度为22222322211224)()(xxexexxx对其微分得22]22[2)(3231xexxdxxd由极值条件，令0)(1dxxd，可得xxx10由)(1x的表达式可知，xx0，时，0)(1x。显然不是最大几率的位置。而2222)]251[(4)]22(2)62[(2)(44223322223212xxexxexxxxdxxd而即23121()2410xdxdxe可见1xm是所求几率密度最大的位置。#142.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为)()()()(2222xExxUxdxd①将式中的)(xx以代换，得)()()