量子力学习题答案(曾谨言版)

部分习题解答P25习题1.3解:（a）、（b）两问参见课件。（c）由(a)知道：自由粒子波函数既是动量本征函数也是能量本征函数或能量本征态(定态)，而(x)是无穷多动量本征态的叠加，也即无穷多能量本征态的叠加，因此(x)=(x)代表非定态，也即非能量本征态。另解：2221ˆ()22ipxdHxedpmdx21122ipxpedpm()x常数因此(x)=(x)非能量本征态。(d)任意波函数可按自由粒子的平面波函数展开：(,)()(,)()(,)pppxtCpxtCpxtdp可以证明展开系数（见附录）()*(,)(,)pCpxtxtdx12(,)(2)iipxEtpxte自由粒子波函数其中当(x,t)未知时，C(p)难以直接求解。但C(p)与时间无关，故可以用系统的初态求解：()*()(,0);0pCpxxdtx1122(2)()=(2)ipxexdx2()12(,)(2)ippxtmxtedp则22[()]1222(2)itmmxpxtmtedp22[()]1222(,)(2)itmmxpxtmtxtedp利用24iiede224(,)2mxiitmxteet所以附录：()*(,)(,)pCpxtxtdx系数(,)()(,)pxtCpxtdp证明：(,)()(,)pxtCpxtdp''*(,)(,)*(,)()(,)pppxtxtxtCpxtdp''*(,)(,)*(,)()(,)pppxtxtdxxtdxCpxtdp（I）()(')Cpppdp'()(,)*(,)ppCpdpxtxtdx右边12*()(,)(2),,))((ipxpxxtdxCptxtedx''*(,)(,)*(,)()(,)pppxtxtdxxtdxCpxtdp(')Cp()*(,)(,)pCpxtxtdx所以（I）式可以写成：12(,)(,)()(2)(,)ipxpxtxdpCptedpCpt得证！课件第3章§1习题:ˆˆˆˆ()ABBA证明解答：由转置算符的定义得到ˆˆˆˆ(,)(*,*)ABAB*ˆˆ(,)BA*ˆˆ(*,*)ABˆˆ(,)BAˆˆˆˆ()ABBA和任意，所以P74习题3.3解答：利用1[,]mmpximx1[,]nnxpinp0[,][,]mnmnmnpFCpxp10mnmnmniCmxpiFx同理有[,]xFiFpP75习题3.14解：设lz算符的本征态为m，相应的本征值mћ*ˆxmxmlldx*1ˆˆˆˆ()myzzymlllldxi**1ˆˆˆˆ[]myzmmzymlldxlldxi*1ˆˆˆ[()*]myzmzmymmldxlldxi**1ˆˆ[]0myzmmymmldxmldxi类似地可以证明0ylP75习题3.16解：显然态，非lz算符和l2算符的本征态(a)lz的可能测值1,1zlmm相应本征态Y1120,0zlmm相应本征态Y20相应的测量概率：221122:;:zzlclc平均值：22211221zzzllclcc(b)l2的可能测值2221(1)2,1llll相应本征态Y112222(1)6,2llll相应本征态Y20相应的测量概率：22221122:;:lclc平均值：22222222211221226llclcccP95习题4.2解:(a)对两个全同的Boss子，体系波函数必须满足交换对称性。①当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定交换对称：(1,2)(1)(2),1,2,3iii可能态数目3①当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波函数：1(1,2)[(1)(2)(2)(1)],2ijijij可能态数目233C所以，两个全同Boss子总的可能态数目6(b)对两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换反对称要求。对Femi子不允许两个粒子处于相同的单态，因此它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系波函数：1(1,2)[(1)(2)(2)(1)],2ijijij可能态数目233C所以，两个全同Femi子总的可能态数目3(b)对两个经典的粒子(可区分)，其体系波函数无对称性要求，即(1,2)(1)(2),,1,2,3ijij可能态数目339P95习题4.5解：定态就是能量本征态，对应本征值E。因束缚态是可以归一化的，故不妨设已归一化。1ˆˆ[,]dAAHdti1ˆˆ(,[,])AHi1ˆˆˆˆ[(,)(,)]AHHAi1ˆˆˆ[(,)(,)]EAHAi1ˆˆ[(,)(,)]0EAEAiP115习题5.5解答:氢原子基态波函数10031(,,)rarea基态能量421222eeEa经典禁区221()002eeEVrar（因为E=T+V，E－V0意味着T0，显然是经典理论不允许的；但量子理论中，粒子可以发生隧道效应，穿越经典禁区）2ra基态电子处于经典禁区的概率2100(,,)Prd4223201raaerdrda4130.238e注意：结果中e非指电子电荷，而是指数e。P115习题5.6解答:(a)类氢离子中电子的波函数1(,,)()(,)()(,)nlmnllmnllmrRrYrYr222,1()nrnanZnrCre2()(1,22,)lnlnlRrNeFnll园轨道（l=n－1）下的径向概率分布函数最概然半径rn由下列极值条件决定：2,1()0nndrdr2nrnaZ(b)2(,,)nlmrrrd4222001()(,)nllmrrdrYdr20()nlrrdr径向概率密度222,1()nrnanZnrCre对于园轨道(l=n－1)2120nrnaZrCredr2120ZnrnarCredr10!nxnnxedx利用积分公式得到22(21)!(2)nnrCnaZ222,1lnlZCNlnna而32,1344(21)!nnNannZ2(2)rnnaZ对于氢原子“园轨道”的平均半径2(2)rnna例如基态132ra和例题1的结果一致。(c)涨落1222()rrr与(b)类似地223(22)!(2)nnrCnaZ2212()(1)()nnnaZ所以221212222[()(1)()(2)()]rnnnaZnnaZ1232()42nnraZ212122nnrrnn可见，n越大，越小，量子力学的结果和Bohr量子化“轨道”的图像越接近。rr