线性代数公式定理

线代公式定理章一、行列式1、n阶行列式（1）（定义)由自然数1，2，···，n组成的一个有序数组称为一个n阶排列，记为j1j2…jn.（2）（定义)在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.用(j1j2…jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数是奇数的排列称为奇排列。(3)（定义）把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到一个新的排列，这种变换称为排列的一个对换。（4）（定理）一次对换改变排列奇偶性。（5）（推论）任何一个n阶排列都可以通过对换化成标准排列,并且所作对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同。（6）三阶行列式的计算：I沙路法II对角线法则（7）三角行列式的计算：下（上）三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即nnaaa2211nnnnaaaaaa212221110002、行列式的性质（1）(性质)行列式与它的转置行列式相等,即。（2）(性质)如果行列式某一行(列)元素有公因数k,则k可以提到行列式符号外边。（3）（推论）如果行列式中某一行(列)元素全为零,那么行列式等于零。（4）(性质)如果行列式中两行（列）互换，那么行列式只改变一个符号。（5）(推论)若行列式中有两行(列)相同,则行列式的值为零。（6）(推论)如果行列式中两行（列）的对应元素成比例，那么行列式值为0。（7）(性质)如果行列式某行(列)的各元素都可以写成两数之和,则此行列式等于两个行列式的和。（8）(性质)如果将行列式中某行（列）的各元素同乘一数k后，加到另一行（列）的各对应元素上，则行列式的值不变。（9）（性质）若aij=aji(i,j=1,2,…,n),则称行列式D为对称的；若aij=-aji(i,j=1,2,…,n),则称行列式D为反对称.由定义易知,在反对称行列式中,aii=0(i=1,2,…,n)。3、行列式的展开与计算（1）（定义）在n阶行列式D=|aij|n中，划掉元素aij所在的第i行和第j列后,留下的元素按照原来的顺序组成的n-1阶行列式称为元素aij的余子式,记为Mij。ijjiijMA)1(称为元素aij的代数余子式。·（2）（定理）n阶行列式D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（3）定理1.3.2n阶行列式D=|aij|n中某一行(列)的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.即（（4）两个重要公式：（5）（定义）在n阶行列式D中,任取k行、k列(1kn-1)，由这些行和列交叉处的元素按照原来的相对位置所构成的k阶行列式N，称为D的一个k阶子式.在行列式D中去掉k阶子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原来的顺序构成的nk阶行列式M,称为N的余子式若N所在的行序数为i1,i2,…,ik,所在的列序数为j1,j2,…,jk,则称为N的代数余子式。（6）(拉普拉斯(Laplace)定理)在n阶行列式D中任意选取k行（列）(1kn-1),则由这k个行（列）中的一切k阶子式N1,N2,…,Nt与它们所对应的代数余子式A1,A2,…,At乘积之和等于ininiiiiAaAaAaD2211),,2,1(niD，即其中。4、克莱姆法则（1）(克莱姆(Cramer)法则)如果线性方程组（1.4.1）的系数行列式D≠0,则方程组有唯一解，并且解可以用行列式表示为，其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组（1.4.1）右端的常数项b1,b2,…,bn代替后所得到的n阶行列式，即（2）（定义）当线性方程组(1.4.1)右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时，称为非齐次线性方程组；当b1,b2,…,bn全为零时，称为齐次线性方程组。（3）（推论）若齐次线性方程组的系数行列式D≠0,则它只有唯一的零解。（4）（定理）若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0.5、数域(1)(定义)设P是由一些数组成的集合,包含0和1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不等于零）仍在P中,那么我们称P是一个数域。(2)（定理）设P为任何一个数域，则QP。章二、矩阵一、概念（1）（定义）数域P上m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列数表称为P上的一个m行n列矩阵，或称为mn矩阵,简记为(aij)m×n或(aij).其中aij称为这个矩阵中第i行第j列的元素.当P是实数域时,称数表为实矩阵,当P是复数域时,称数表为复矩阵。（2）行矩阵、列矩阵：在mn矩阵A=(aij)中,如果m=1,这时A=(a11,a12,…,a1n),称其为行矩阵,也称为n维行向量；如果n=1,这时称其为列矩阵,也称为m维列向量。零矩阵：所有元素都为零的mn矩阵称为零矩阵,记为Om×n或O。（3）在mn矩阵A=(aij)中,当m=n时,称为n阶方阵,简记为(aij)n.（4）对于n阶方阵A,可定义行列式，称其为矩阵A的行列式,记为|A|。（5）形如的矩称为单位阵。（6）非主对角线上元素全为零的n阶方阵称为对角形矩阵,记为简写为。（7）当n阶对角形矩阵主对角线上的元素时,称为数量矩阵。（8）上(下)三角形矩阵：在n阶方阵(aij)n中,如果主对角线下（上）方的元素全为零,即当ij时,aij=0(i,j=1,2,…,n),则称之为上（下）三角形矩阵。二、运算（1）（定义）两个矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)s×t,如果m=s,n=t,称A与B是同型矩阵;若数域P上的同型矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)m×n的对应元素相等,即aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),称A与B相等,记作A=B。（2）（定义）设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n为数域P上的两个同型矩阵，称矩阵(aij+bij)m×n为矩阵A与B的和,记作。（3）定义2.2.3设A=(aij)m×n为数域P上的矩阵,k∈P.数k与矩阵A的每个元素相乘后得到的矩阵(kaij)m×n称为数k与矩阵A的数量乘积,简称为数乘,记作。（4）矩阵的加法与数乘称为矩阵的线性运算若矩阵A=(aij)m×n,则称矩阵(-aij)m×n为矩阵A的负矩阵,记为-A。（5）运算律：①加法交换律A+B=B+A；②加法结合律(A+B)+C=A+(B+C);③A+O=O+A=A,这里O是与A同型的零矩阵;④A+(-A)=(-A)+A=O；⑤)k(A+B)=kA+kB；⑥(k+l)A=kA+lA；⑦(kl)A=k(lA)=l(kA)；⑧1A=A,0A=O；（6）（定义）设A=(aij)m×k,B=(bij)k×n,C=(Cij)m×n均为数域P上的矩阵,其中称矩阵C是A与B的乘积,记作C=AB。***只有当左乘矩阵A的列数等于右乘矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.乘积矩阵AB的行数等于左乘矩阵A的行数，AB的列数等于右乘矩阵B的列数（7）矩阵乘法与数的乘法区别：①矩阵乘法不满足交换律；②矩阵乘法不满足消去律；③两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵；（8）设A,B,C为数域P上的矩阵，k∈P，它们的乘法满足如下运算规律:①结合律(AB)C=A(BC)；②分配律A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；③k(AB)=(kA)B=A(kB),k为任意常数；（9）定义2.2.5设A是n阶矩阵,k为正整数,定义k个A的连乘积为A的k次幂,记作Ak,即这里规定A0=E。（10）定理2.1.1设A、B均为n阶方阵,k为常数,则|kA|=kn|A|，|AB|=|A||B|。（要求A,Ｂ为同型矩阵）（11）（定义）设m×n矩阵，将矩阵A的行列互换,而不改变其先后次序得到的n×m矩阵称为矩阵Ａ的转置矩阵，记为AT(或A′)。（１２）设A,B为数域P上的矩阵,k∈P,矩阵的转置满足如下运算规律:①(AT)T=A；②(A+B)T=AT+BT；③(kA)T=kAT(k为任意常数)；④|AT|=|A|（A为方阵）；⑤(AB)T=BTAT；（１３）（定义）设A=(aij)是n阶方阵,如果AT=A,即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，则称A为对称矩阵;如果AT=-A,即aij=-aji(i,j=1,2,…,n)，则称A为反对称矩阵．显然在反对称矩阵中,主对角线上的元素均为零．三、逆矩阵(1)(定义)设A是n阶方阵,若有一个n阶方阵B,使得AB=BA=E,则B称为A的逆矩阵,A称为可逆矩阵,或非奇异矩阵;定义中A与B的地位是等同的,所以B也是可逆矩阵,并且A是B的逆矩阵。(2)定理2.3.1若A是一个n阶可逆矩阵,则它的逆矩阵是唯一的(3)（定义）设A=(aij)n×n,Aij为的行列式|A|中元素aij的代数余子式,称为矩阵A的伴随矩阵。(4)（定理）n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|0,且A可逆时,有。(5)（推论）设A与B都是n阶方阵,若AB=E,则A,B都可逆,并且A-1=B,B-1=A。（6）（性质）若A可逆,则A-1可逆,且(A-1)-1=A（7）（性质）若A可逆,则|A-1|=|A|-1.（8）（性质）若A可逆,则(AT)-1=(A-1)T（9）（性质）若n阶矩阵A,B都可逆,则AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1。（10）（性质）若A可逆,数k≠0,则(kA)-1=k-1A-1。（11）（性质）若A可逆,且AB=O,则B=O（12）性质7若A可逆,且AB=AC,则B=C（13）矩阵方程AX=C,XA=C,AXB=C其中A、B均为可逆矩阵.则上述矩阵方程分别有唯一解X=A-1C，X=CA-1，X=A-1CB-1（14）（定义）设A为实数域R上的方阵,如果它满足AAT=ATA=E,则称A为正交矩阵。（15）（定理）实数域R上的方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A-1=AT。(16)正交矩阵的性质：①若A为正交矩阵,则|A|=1或|A|=-1；②正交矩阵的逆矩阵及转置矩阵仍为正交矩阵；③若A、B是同阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵;④)正交矩阵的每行(列)元素的平方和等于1,不同两行(列)的对应元素乘积之和等于0。四、分块矩阵（1）定义2.4.1设A是一个矩阵,用贯穿于的纵线和横线按某种需要将其划分成若干个阶数较低的矩阵,这种矩阵称为A的子块或子矩阵,以这些子块为元素构成的矩阵称为A的分块矩阵。（2）分块矩阵的运算：设A,B为m×n矩阵,将A,B采用同样的方法进行分块,得到则有（k为常数）若分块矩阵，则有（3）分块矩阵的乘法：设矩阵A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,用分块矩阵计算A,B的乘积AB时,一定要使A的列的分法与B的行的分法一致,这样不仅可以保证A,B作为分块矩阵可乘,而且它们相应的各子块间的乘法也有意义,即其中矩阵A的子块Aik为mi×sk(i=1,2,…,r,k=1,2,…,p)矩阵,矩阵B的子块Bkj为sk×nj(k=1,2,…,p;j=1,2,…,q)矩阵,且则其中为mi×nj矩阵(i=1,2,…,r，j=1,2,…,q)。（4）定义2.5.2设A为n阶方阵,如果它的分块矩阵具有如下形式其中Ai(i=1,2,…,s)为ni阶方阵则称A为准对角形矩阵。（5）设A,B同型方阵，且子块同型，则有1.2.3.|A|=|A1||A2|…|As|；4.若|Ai|0(i=1,2,…,s),则五、初等变换与初等矩阵（1）（定义）矩阵A的下列变换称为它的初等行（或列）变换：（三种初等变换分别简称为互换、倍乘、倍加。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换）1.互换矩阵A的第i行与第j行（或第i列与第j列）的位置，记为rirj(或cicj);2.用常数k≠0去乘矩阵A的第i行(或第j列)，记为kri(或kcj);3.将矩阵A的第j行（或第j列）各元素的k倍加到第i行(或第i列)的对应元素上去，记为ri+krj(或ci+kcj);（2）定义2.5.2如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵