线性代数同济大学第五版课件4-5

上页下页返回向量空间的定义主要内容向量空间的基与维数第五节向量空间向量的坐标上页下页返回一、向量空间的定义定义6设V为n维向量的集合,如果集合V非空,且集合V对于加法及数乘两种运算封闭,那那么就称集合V为向量空间.所谓封闭,是指在集合V中可以进行加法及数乘两种运算.则a+bV;若aV,R,则aV.具体地说,若aV,bV,上页下页返回例18集合V={x=(0,x2,···,xn)T|x2,···,xnR}V是一个向量空间.b=(0,b2,···,bn)TV,则a+b=(0,a2+b2,···,an+bn)TV,a=(0,a2,···,an)TV.若a=(0,a2,···,an)TV,上页下页返回例19集合V={x=(1,x2,···,xn)T|x2,···,xnR}V不是向量空间.2a=(2,2a2,···,2an)TV.若a=(1,a2,···,an)TV,则上页下页返回例20齐次线性方程组的解集S={x|Ax=0}S是一个向量空间，因为由齐次线性方程组的解的性质1、2，即知其解集S对向量的线性运算封闭.称为齐次线性方程组的解空间.上页下页返回集合L={x=a+b|,R}x1=1a+1b,x2=2a+2b，则有x1+x2=(1+2)a+(1+2)bL,kx1=(k1)a+(k1)bL.这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间.是一个向量空间.因为若例22设a,b为两个已知的n维向量，上页下页返回一般地,由向量组a1,a2,···,am所生成的向量空间为L={x=1a1+2a2+···+mam|1,2,···,mR}.例23设向量组a1,···,am与向量组b1,···,bs等价,记L1={x=1a1+2a2+···+mam|1,···,mR},L2={x=1b1+2b2+···+sbs|1,···,sR},试证L1=L2.上页下页返回证明设xL1,则x可由a1,···,am线性表示.因a1,···,am可由b1,···,bs线性表示,因此L1L2.故x可由b1,···,bs线性表示,类似地可证,L2L1.因为L1L2,L2L1,所以L1=L2.所以xL2.上页下页返回定义设有向量空间V1及V2,若V1V2,空间.总有VRn,所以这样的向量空间总是Rn的子例如任何由n维向量所组成的向量空间V,就称V1是V2的子空间.二、向量空间的基与维数上页下页返回r维向量空间.定义7设V为向量空间,如果r个向量a1,a2,···,arV,且满足(i)a1,a2,···,ar线性无关;(ii)V中任一向量都可由a1,a2,···,ar线性表示.那么,向量组a1,a2,···,ar就称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数,并称V为上页下页返回由向量组a1,a2,···,am所生成的向量空间L={x=1a1+2a2+···+mam|1,···,mR},显然向量空间L与向量组a1,a2,···,am等价,所以向量组a1,a2,···,am的最大无关组就是L的一个基,向量组a1,a2,···,am的秩就是L的维数.例如：上页下页返回三、向量的坐标定义8如果在向量空间V中取定一个基a1,a2,···,ar,那么V中任一向量x可唯一地表示为x=1a1+2a2+···+rar,数组1,2,···,r称为向量x在基a1,a2,···,ar中的坐标.上页下页返回特别地，在n维向量空间Rn中取单位坐标向量组e1,e2,···,en为基，则以x1,x2,···,xn为分量的向量x，可表示为x=x1e1+x2e2+···+xnen,可见向量在基e1,e2,···,en中的坐标就是该向量的分量.因此，e1,e2,···,en叫做Rn中的自然基.上页下页返回例24设,221212122)(321,a,aaA,243041)(21,bbB验证a1,a2,a3是R3的一个基,并求b1,b2在这个基下的坐标.上页下页返回,)()(32312221121132121xxxxxx,a,aa,bb记作B=AX.要证a1,a2,a3是R3的一个基,只要证a1,a2,a3线性无关,即只要证A~E.设b1=x11a1+x21a2+x31a3,b2=x12a1+x22a2+x32a3,解上页下页返回242213021241122)(B|A初等行变换.3/2110013/20103/43/2001对矩阵(A,B)施行初等行变换,若A能变为E,则a1,a2,a3为R3的一个基,且当A变为E时,B变为X=A-1B.上页下页返回.3/2113/23/43/2)()(32121,a,aa,bb因为A~E，所以a1,a2,a3为R3的一个基，且上页下页返回例25在R3中取定一个基a1,a2,a3，再取一个新基b1,b2,b3，设A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3).求用a1,a2,a3表示b1,b2,b3的表示式(基变换公式)，并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).解(a1,a2,a3)=(e1,e2,e3)A，(e1,e2,e3)=(a1,a2,a3)A-1，故(b1,b2,b3)=(e1,e2,e3)B=(a1,a2,a3)A-1B,上页下页返回即基变换公式为(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P,其中表示式的系数矩阵P=A-1B称为从旧基到新基的过渡矩阵.设向量x在旧基和新基中的坐标分别为y1,y2,y3和z1,z2,z3，即,),,(,),,(321321321321zzzbbbxyyyaaax上页下页返回故,321321zzzByyyA得,3211321yyyABzzz即.3211321yyyPzzz这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式.