线性代数总结

概念：m×n个数排成m行n列的数表。加法：同型矩阵相加。数乘矩阵：以一个不为零的数乘以矩阵的每一个数。运算相乘：AB，要满足A的列等于B的行。矩阵的幂运算：转置：方阵的行列式：初等行变换：①；②；③什么是初等矩阵？初等变换初等矩阵及其逆阵：初等变换与矩阵与初等矩阵相乘的关系：A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。等价PAQ=B,相似对称：矩阵关系矩阵间合同关系可换AB=BA，A,B互为逆阵矩阵自身反对称：①②③关系④正交：⑤两个正交阵之积仍是正交阵正定：⑥A的行(列)向量都是单位向量组①用定义法：AB=E,(A,B都是n阶矩阵)AB=BA,称A,B可换。①代数余子式的符号求伴随要注意的？②矩阵元素与相应代数余子式的位置关系。②初等变换法:③用公式法：主——换元副——变号求逆阵④用分块：(二)矩阵⑤特殊矩阵的逆阵：逆矩阵|A|≠0用于实矩阵，当要在矩阵方程两边同乘一个未知方程组AX=0只有零解线性方程组A没有零特征值A为满秩矩阵，R(A)=n是否可逆矩阵时，需计算|A|是否为零。有关的A的行向量组线性无关证矩阵可逆：A的列向量组线性无关用于与用于些用于矩阵方程，可用配方法n阶矩阵AA的行(列)向量组是n维向量空间间中的一组基向量有抽象文AB=E配出形如AB=E，即A可逆。任一n维向量α均可由A的列(行)向量组线性表出关的字描述1,(PAPBP可逆),(TCACBC可逆)TAATAATAAE1TAA||1A(),(),(),()TTTTTTTTTTAAABABAAABBA1111(,)(,),(())(()),(())(())EijEijEikEiEijkEijkk00,(,00nnnBBBCCC都是方阵)1(,)(,)AEEA初等行变换11*||AAA1abdbcdcaadbc1312231111aaaaaa1111110000,0000AAABBBBA111111111100,00ACAAACBABCBBBCAB1112233111aaaaaaA~E行等价Rn1,AXAbxbb有唯一解，且=TAA为正定矩阵T1,AAA是正交阵，则也是正交阵TT==EAAAA12121212(,B.PP...PAQQ...Q=B,P=PP...P,Q=QQ...Q.lklkPQ均可逆)A经过一系列初等行变换和初等列变换后可化为即所以AA可分解为一系列初等矩阵的乘积可分解为一系列可逆矩阵的乘积2定义：最高阶非零子式的阶数等于矩阵的秩。①若A≠0R(A)≥1；②③(n指A的列数)⑤④R(AB)=0⑥Ax=0只有零解R(AB)=R(A)性质⑦R(AB)=R(B)AB=0B=0B在矩阵乘法中有右消定律用A在矩阵乘法中有左消定律矩阵的秩AB=ACB=C于⑧R(A±B)≤R(A)+R(B)max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)⑨求⑩⒒秩①将矩阵进行初等行变换，化为行最简形，非零行的行数就是矩阵的秩；②定义法：最高阶非零子式的阶数就是矩阵的秩；③矩阵与向量组的关系：矩阵的秩等于行向量组的秩等于列向量组的秩。计算④m×n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集的秩，掌握其中基础解系的个数与矩阵A的秩A之间的关系基础解系构成的解空间的维数(等于)根据解的性质，令,若有AB=0，即B的列向量都是Ax=0的解，换句话说，B的任一列向量都是Ax=0的基础解系的线性表示，结合矩阵秩的性质10，有转置：公式可逆：伴随：n,R(A)=nmnRAn()()()TTRARARAA()(),(0)RkARAk()()RARBnA0Bx的列向量全是的解(B)min{(),()}RARARB(B)=R(B)ARA若可逆B(B)=R(A)RA若可逆BnsRn若00()()00AARRRARBBB()()0ACRRARBB(),(),(),()TTTTTTTTTTAAABABkAkAABBA111111111111(),(),(0),(),()(),||||TTAAkAAkABBAAAAkA***1*1*11***||,||,||||,()(),()()||nTTAAAAAAEAAAAAAAAAA(*)RA0R(A)min{,};mnmn**()?RABABkeynA,B为n阶可逆矩阵，且A,B可换，求sARnRsR2112(,,...,),(,,...,),BnlAaaaBbbb为非零矩阵BSAB=0R(A)+R(B).(AARRnRnn，即熟知的是的列数)。12121212:,,...,A:,,...,R(,,...,)R(,,...,),R(B)R(A)lmlmBbbbaaabbbaaa向量组能由向量组线性表示，则即r维向量空间的一组基是线性无关的，所以由该基组成的矩阵的秩为r()(,)RBRAB21,R(A)=n-10,R(A)n-1(*)RA2