线性代数经典例题

1（22）（本题满分11分）已知111是1253102aAb的特征向量，求,ab的值，并证明A的任一特征向量均能由线性表出.解设是所对应的特征向量，则A，即1211531110211ab即12,53,1,2,312,abab故211533102A由323(2(3)(2))(162)(1)(1)EA，知1是A的三重特征根.又因312()5232101rEAr，从而1对应的线性无关的特征向量只有一个.所以A的特征向量均可由线性表出.(23)（本题满分11分）已知二次型)0(2332),,(32232221321axaxxxxxxxf，通过正交变换化为标准型23222152yyyf，求参数a及所用正交变换矩阵.解变换前后二次型的矩阵分别为3030002aaA，500020001B，由正交变换性质知，A与B相似，于是BEAE即)5)(2)(1()96)(2(22a将1(或5)代入上式，得2,042aa因0a，故2a，这时320230002A其特征值分别为5,2,1321(与B的特征值相同)当11时，解方程0)(1xAE，得1101；当22时，解方程0)(2xAE，得0012当53时，解方程0)(3xAE，得1103将321,,单位化，得21210111，001222，212103332故所用正交变换矩阵为2102121021010Q.(22)（本题满分11分）设向量组1(,2,10)Ta，2(2,1,5)T，3(1,1,4)T，(1,,)Tbc.试问：当,,abc满足什么条件时(1)可由123,,线性表出，且表示唯一？(2)不能由123,,线性表出？(3)可由123,,线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.解设有一组数123,,xxx，使得112233xxx对应方程组的增广矩阵作初等行变换，有2111211211021122210540015aaaabAbccb线性表出，且表示唯一.(1)当202a，即4a时，秩()A=秩()A=3，方程组有唯一解，可由123,,(2)当202a，即4a时，对A作初等行变换，有21010011200013bAbbc当31bc时，秩()A秩()A，方程组无解，不能由123,,线性表出.(3)当4a且31bc时，秩()A=秩()A=23，方程组有无穷多解，可由123,,线性表出，但表示不唯一.此时，解得123,21,21ktktbkb(t为任意常数)因此有123(21)(21)ttbb(23)（本题满分11分）已知矩阵2000303Aaa有特征值5，求a的值；并当0a时，正交矩阵Q，使1QAQ.解因5是矩阵A的特征值，则由23005023(4)002EAaaa.可得2a.当2a时，则由矩阵A的特征多项式200032(2)(5)(1)0023EA，知矩阵A的特征值是1,2,5.由()0EAx得基础解系1(0,1,1)T由(2)0EAx得基础解系2(1,0,0)T由(5)0EAx得基础解系3(0,1,1)T即矩阵A属于特征值1,2,5的特征向量分别是123,,.3由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化，有1011,212100，301121那么，令12301011()02211022Q，则有1125QAQ.（22）设A为三阶矩阵，123,,为3维列向量.若向量组123,,线性无关，且112322A，212322A，312322A.(1)求矩阵A的特征向量；（2）设2BAE，求B.解123123123122(,,)(,,)(,,)212221AAAA，因为123,,线性无关，所以123(,,)可逆，于是1123123122(,,)(,,)212221A，即122212221AC，则A与C有相同的特征值，由1222120221EC，得1235,1于是A的特征值为1235,1（2）1235A，A的特征值为11A，25A，35A，于是2BAE的特征值为1,11,11，故121B.（23）设实二次型123(,,)TfxxxxAx经过正交变换后得到的标准型为2221232fyyy，A是A的伴随矩阵，且向量(1,1,1)T满足A，求二次型123(,,)fxxx.解由于A的特征值为2,1,1，所以2(1)(1)2A.对A两边左乘A，并利用AAAE得2A，这表明是A对应于特征值2的特征相量.取2(0,1,1)T，3(2,1,1)，则123,,两两正交，将它们分别规范化为1111(,,)333Tq，211(0,,)22Tq，3211(,,)666Tq，令123(,,)Qqqq，则Q为正交矩阵，且011101110TAQQ所以二次型123121323(,,)222fxxxxxxxxx.