线性代数综合练习题

第1页共7页线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得B，再把B的第二列加到第三列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为（）。（A）101001010；（B）100101010；（C）110001010；（D）100001110。2．设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（）。（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。3．下列向量集按Rn的加法和数乘构成R上一个线性空间的是（）。（A）Rn中，坐标满足x1+x2+…+xn=0的所有向量；（B）Rn中，坐标是整数的所有向量；（C）Rn中，坐标满足x1+x2+…+xn=1的所有向量；（D）Rn中，坐标满足x1=1，x2，…，xn可取任意实数的所有向量。4．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵（31A2）-1有一个特征值等于（）。（A）34；（B）43；（C）21；（D）41。5．任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它（）。（A）合同；（B）相似；（C）等价；（D）以上都不对。二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=100021012，矩阵B满足：ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是三阶单位矩阵，则|B|=。2．已知线性方程组21232121aa031321xxx无解，则a=。第2页共7页3．若A=100021021ba为正交矩阵，则a=，b=。4．设A为n阶矩阵，且|A|≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。若A有特征值λ，则（A*）2+E必有特征值。5．若二次型f=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是。三、（15分）设有齐次线性方程组：0)4(44403)3(33022)2(20)1(4321432143214321xaxxxxxaxxxxxaxxxxxa试问a取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。四、（10分）设R3的两组基为：TTT)1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321和TTT)1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321，向量α=（2，3，3）T（1）求基321,,到基321,,的过渡矩阵；（2）求α关于这两组基的坐标。五、（15分）设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-2，λ2=1（2重），α1=（1，1，1）T是属于λ1=-2的特征向量。试求：（1）属于λ2=1（2重）的特征向量；（2）A的伴随矩阵A*。六、（10分）设二次型323121232221222xbxxxxaxxxxf通过正交变换321321yyyPxxx化为：23222yyf，求a、b。七、（10分）已知A，B为n阶可逆方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是n阶单位矩阵，试证：A-2E可逆。并求出（A-2E）-1=？第3页共7页八、（10分）设A为n阶矩阵，且1,1)(2211nnAAAnAr，其中iiA是A中元素iia的代数余子式（i=1，2，…，n）。试证：A的伴随矩阵A*的特征值是0和1，并说明各个特征值的重数。第4页共7页线性代数综合练习参考答案一、选择题：1．（D）；2（A）；3．（A）；4．（B）；5．C）；二、填空题：1．91；2．-1；3．21，21；4．1||2A；5．-22t三、解：A=Baaaaaaaaaaa00400300211114444333322221111行（1）当a=0时，r(A)=14，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x1+x2+x3+x4=0由此得一基础解系为：TTTyyy)1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(321，故全部解为：332211yCyCyCX（其中321,,CCC为任意常数）……（7分）（2）当a≠0时，100401030012000101004010300121111aaB当a=-10时，r（A）=34，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：040302413121xxxxxx，解之，可得一个基础解系为：y=（1，2，3，4）T，故全部解为：X=ky（其中k为任意常数）……（15分）备注：此题也可另解∵|A|=（a+10）a3∴当|A|=0时，即a=0或a=-10时，齐次线性方程组有无穷解。四、解：（1）记B=（321,,）=101110011，C=（321,,）=121211111第5页共7页则有：112110010210100121001121101211110111011从而，由基321,,到基321,,的过渡矩阵为：A=B-1C=112110210121………………………（5分）（2）设α关于基321,,的坐标为（321,,yyy）即：0332211yyy由此可得：32322321321321yyyyyyyyy，解之得：1,1,0321yyy，故α关于基321,,的坐标为（0，1，1），又∵321321yyyAxxx=112110210121211110即α关于基321,,的坐标为（1，1，2）…………………………（10分）五、解：（1）设A的属于特征值λ2=1（2重）的特征向量为（x1，x2，x3）T，则∵A是实对称矩阵，∴（x1，x2，x3）T与α1正交，即有：（x1，x2，x3）111=0，也即：x1+x2+x3=0，解之：α2=（-1，1，0）Tα3=（-1，0，1）T第6页共7页∴A的属于λ2=1的全部特征向量为：k1α2+k2α3（k1，k2不同时为0）………………（5分）（2）∵A*=|A|A-1∴A*的特征值为：|A|·（-21），|A|·1（2重）又∵|A|=-2∴A*的特征值为：1，-2（2重）………………………………（10分）A*（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）221A*=（α1，α2，α3）200020001（α1，α2，α3）-1=1101011111200020001101011111=323131313231313131200020001101011111=3333333333121112111120102122131=111111111……………………………………………（15分）六、解：f的正交变换前后的矩阵分别为：11111bbaaA和200010000B于是，A、B相似，从而有相同的特征多项式即：|λE-A|=|λE-B|…………（5分）第7页共7页也即：λ3-3λ2+（2-a2-b2）λ+（a-b）2=λ3-3λ2+2λ，比较上式等号两边的λ各幂次项系数有：220)(222baba∴00ba………………………………………………………（10分）七、证明：∵2A-1B=B-4E左乘A，得：2B=AB-4A…………………………………………（5分）即：AB-2B-4A=0∴（A-2E）（B-4E）=8E故A-2E可逆，且（A-2E）-1=81（B-4E）……………………………………（10分）八、证明：∵r（A）=n-1∴r（A*）=1………………………………………………………（2分）又∵齐次线性方程组（0E-A*）X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，∴0是A*的特征值，其重数不小于n-1…………………………………（5分）另外，tr（A*）=A11+A22+…Ann=λ1+λ2+…λn-1+λn=1…………………………………………………………（8分）故有：1是A*的单特征值；0是A*的n-1重特征值。………………………………………（10分）