线性代数论文

关于矩阵和行列式线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是：行列式矩阵空间向量和线性方程组。矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。行列式与矩阵的本质区别在于它们的定义。行列式是一种特殊的算式,它是根据求解方程组个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，经计算能算出其数值，而矩阵只是一个数表，无法通过计算求得其值；而且两者的表示方法也不同。如下例：4321表示的是一个2阶行列式；而4321则表示是一个2×2的矩阵。而且4321可以通过计算求得其值为-2；而4321只能表示一个数表，不能求出值。行列式的行数和列数必须是相等的；而矩阵的行数和列数可以相等也可以不相等。由n2个数组成的n行n列行列式为n阶行列式；由m行n列组成的数表为m×n矩阵。只有行数和列数相等的矩阵即方阵才能计算其行列式。如：620816732531是一个3×4的矩阵；而620816732531这样的行列式是不存在的，因此620816732531无法求其行列式。而且行列式和矩阵的性质和运算法则也不同。如下：（1）记D=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211，DT=nnnnnnaaaaaaaaa212221212111，则称DT为D的转置行列式，并有D=DT，行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立；同样的矩阵A的转置矩阵AT是指把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，即记A=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211，则AT=nnnnnaaaaaaaaa2n12221212111，但有（AT）T=A。且对方阵来说，TA=A。（2）互换行列式的两行（列），行列式变号，例如：987654321=-987321654，因此可以推出——如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零，如：2953674298616742=0。（3）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式，即行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。如：726543225232=7265432532；而AAn(A为方阵)。（4）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。如：10452=0；把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变；如果行列式的某一行（列）的各元素都是两数之和，则此行列式为两个行列式的和。而矩阵没有这些性质。（5）在矩阵中，对调两行（列）；以数k≠0乘以某一行（列）的所有元素；把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上去，称为矩阵的初等变换。如果矩阵A经过有限次的初等变换成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A~B。则有以下性质：①反身性：AA；②对称性：若BA，则AB；③传递性：若BA，CB，则CA。（6）在矩阵中有下列运算法则：A+B=B+A，（A+B）+C=A+(B+C)，-A为A的负矩阵，A+(-A)=0，A-B=A+（-B）（A、B为同型矩阵）；)()(AA，AAA)(，BABA)(；当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵可以相乘，如：12643165432134A，31124231532143B，则4123191029131512582835212210119BA，是一个4×4的矩阵，而191825333139323142AB，是一个3×3的矩阵，由此可见，A×B≠B×A；kkkBAAB)(（但也有例外），（AB）C=A(BC)，A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA，)()()(BABAAB，AE=EA=A；mkmkAAA，mkkmAA)(（A是n阶矩阵）；（A+B）T=AT+BT，（λA）T=λAT，（AB）T=BTAT。（7）D=333231232221131211aaaaaaaaa，去掉22a所在的行和列得到M22=33311311aaaa即为元素22a的余子式，A22=（-1）2+2M22，叫做22a的代数余子式，行列式的每个元素分别对应着一个余子式和代数余子式，再如去掉12a所在的行和列得到M12=33312321aaaa，A12=（-1）1+2M12。而在矩阵中，定义行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的如下矩阵：nnnnnnAAAAAAAAAA212222111211*称为矩阵A的伴随矩阵，且有AA*=A*A=AE。因为对于一个n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B使得AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记作A-1，则有AAA*1(A≠0)。在m×n矩阵A中任取k行k列（k≤m，k≤n），位于这些行列式交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。如：矩阵A=681732972，取其前2行和前2列得到A的2阶子式3272。（8）关于矩阵的初等变换：首先要懂得矩阵的三种初等变换的算法，明白一个矩阵经过一次初等变换并非完全不变，变换前后的矩阵间只是一种特殊的所谓等价关系（如(,)~EijAA，而不是(,),EijAA等等）。还要能将行列式性质中提公因子、交换两行（列）与用常数乘某行（列）加到另一行（列）上去后的结果弄清楚，并可与相应方阵的初等变换进行对比。重要的是知道初等变换不改变矩阵的秩。（9）关于逆矩阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由ABE来定义（A与B互为逆阵），这是应用的基础。要记住方阵可逆的充要条件为0A以及关系式*AAAE，二者有着重要与广泛的应用。要弄清A的伴随方阵是矩阵ijAa的各元素代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。下面是如何用初等变换求逆矩阵：设001110,101A设求1.A解001|100101|001101|001,110|010110|01001-1|01-1101|001001|100001|100AI101|001100|-101010|01-1010|11-1.000|100000|100于是，1-10111-1.100A（10）关于矩阵的秩：矩阵的秩是由解线性方程组引入的一个新概念，对它要逐步加深理解。为此，首先应弄清什么是矩阵的行阶梯形：其一个“台阶”（非零行）只有一行，即任一行的首非零元素下面（同列）的元素全为零,不能把两行的首非零元素位于同一列视为一个“台阶”,而全为零的一行也是一个台阶，且要位于非零行下方。这里，介绍如何用初等变换求矩阵的秩：关于矩阵和行列式，在线性代数的学习中我了解了很多知识。在此有一些总结。