线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和nnnnjjjjjjjjjnijaaaa...)1(21212121)..(（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式TDD）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ijM、代数余子式ijjiijMA)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0D时，有唯一解：)21(njDDxjj、齐次线性方程组：当系数行列式01D时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa②对称行列式:jiijaa③反对称行列式:jiijaa奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100aaaaaaa方法：用221ak把21a化为零，。。化为三角形行列式⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：nmA*（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律数乘nmijkakA*)(---------分配、结合律乘法nmlkjiknlkjlmikbabaBA*1**)()(*)(*注意什么时候有意义一般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置AATT)(TTTBABA)(TTkAkA)(TTTABAB)((反序定理)方幂：2121kkkkAAA2121)(kkkkAA几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB都是N阶对角阵，k是数，则kA、A+B、AB都是n阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的，BA1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）等价标准形矩阵OOOIDrr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A可逆，则满秩若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵nijnijakka)()(，行列式nijnnijakka逆矩阵注：①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I则A与B一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且AA11)(2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且111)(AkkA3、可逆矩阵A的转置TA也是可逆的，且TTAA)()(114、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且111)(ABAB但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但11)(BABAA为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。5、若A可逆，则11AA伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵：22211211*AAAAA（代数余子式）特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）1、分块矩阵COBAD则11111COBCAAD2、准对角矩阵4321AAAAA，则141312111AAAAA3、IAAAAA**4、1*AAA（A可逆）5、1*nAA6、AAAA1*11*（A可逆）7、**TTAA8、***ABAB判断矩阵是否可逆：充要条件是0A，此时*11AAA求逆矩阵的方法：定义法IAA1伴随矩阵法AAA*1初等变换法1||AIIAnn只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系：设nmijaA*是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A：对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A（行变左乘，列变右乘）第三章线性方程组消元法非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r当r=n时，有唯一解；当nr时，有无穷多解r(AB)r(B)，无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)n当齐次线性方程组方程个数未知量个数，一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N维向量：由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示（加法数乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量θ，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系:线性组合或线性表示向量组间的线性相关（无）：定义179P向量组的秩：极大无关组（定义P188）定理：如果rjjj,.....,21是向量组s,.....,21的线性无关的部分组，则它是极大无关组的充要条件是：s,.....,21中的每一个向量都可由rjjj,.....,21线性表出。秩:极大无关组中所含的向量个数。定理：设A为m*n矩阵，则rAr)(的充要条件是：A的列（行）秩为r。现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ，若k则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）注：n个n维单位向量组一定是线性无关一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性相关若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量β可由n,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121TTnTTTnTTrr判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设nkkk....21，求nkkk....21（适合维数低的）2、向量间关系法183P：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、分量法（n个m维向量组）180P：线性相关（充要）nrTnTT)....(21线性无关（充要）nrTnTT)....(21推论①当m=n时，相关，则0321TTT；无关，则0321TTT②当mn时，线性相关推广：若向量s,...,21组线性无关，则当s为奇数时，向量组13221,...,s也线性无关；当s为偶数时，向量组也线性相关。定理：如果向量组,,...,21s线性相关，则向量可由向量组s,...,21线性表出，且表示法唯一的充分必要条件是s,...,21线性无关。极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在；无关的向量组的极大无关组是其本身；向量组与其极大无关组是等价的。齐次线性方程组（I）解的结构：解为...,21（I）的两个解的和21仍是它的解；（I）解的任意倍数k还是它的解；（I）解的线性组合ssccc....2211也是它的解，sccc,...,21是任意常数。非齐次线性方程组（II）解的结构：解为...,21（II）的两个解的差21仍是它的解；若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的一个解，则u+v是（II）的一个解。定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩nrAr)(，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的全部解，则u+v是（II）的全部解。第四章向量空间向量的内积实向量定义：（α，β）=nnTbababa....2211性质：非负性、对称性、线性性(α,kβ)=k(α,β);(kα,kβ)=2k(α,β);(α+β,)=(α,)+(α,)+(β,)+(β,);),(),(1111jisjjriijsjjriiilklknR,,,,向量的长度),(0的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是（α，α）=1单位化向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是（α，β）=0正交的向量组必定线性无关正交矩阵：ｎ阶矩阵ＡIAAAATT性质：1、若A为正交矩阵，则Ａ可逆，且TAA1，且1A也是正交矩阵；２、若A为正交矩阵，则1A；３、若A、Ｂ为同阶正交矩阵，则ＡＢ也是正交矩阵；４、ｎ阶矩阵Ａ＝（ija）是正交矩阵的充要条件是Ａ的列（行）向量组是标准正交向量；第五章矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量A是N阶方阵，若数使AX=X，即（I-A）=0有非零解，则称为A的一个特征值，此时，非零解称为A的属于特征值的特征向量。|A|=n...**21注：1、AX=X2、求特征值、特征向量的方法0AI求i将i代入（I-A）X=0求出所有非零解3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）特殊：nI)(的特征向量为任意N阶非零向量或)(21不全为零incccc4、特征值：若)0(是A的特征值则1A--------1则mA--------m则kA--------k若2A=A则-----------=0或1若2A=I则-----------=-1或1若kA=O则----------=0迹tr(A)：迹（A）=nnaaa2211性质：1、N阶方阵可逆的充要条件是A的特征值全是非零的2、A与1A有相同的特征值3、N阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A、B是N阶矩阵，若存在可逆矩阵P，满足BAPP1，则矩阵A与B相似，记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B则B~ABAPP11PBPAABPP111)(3、传递性：若A~B、B~C则A~CBAPP111CBPP212---CPPAPP)()(211214、若AB，则A与B同（不）可逆5、若A~B，则11~BABAPP1两边同取逆，111BPAP6、若A~B，则它们有相同的特征值。（特征值相同的矩阵不一定相似）7、若A~B，则)()(BrAr初等变换不改变矩阵的秩例子：BAPP1则1100100PPBAOAPP1A=OIAPP1A=IIAPP1A=I矩阵对角化定理：N阶矩阵A与N阶对角形矩阵相似的充要条件是A有N个线性无关的特征向量注：1、P与^中的iix与顺序一致2、A~^,则^与P不是唯