备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用 Word版

-1-【高考地位】分段函数是高中数学中一类重要的函数类型，不仅能考查函数的概念、表示及性质，而且能有效考查学生分类讨论的数学思想方法，培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力，因此掌握分段函数的几类常见问题是必要的，下面针对分段函数的特征归纳三类问题：求值问题、单调性问题和最值问题。【方法点评】类型一求值问题使用情景：分段函数的求值问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步通过运算、变形，利用对数运用、指数运算等，将问题转化为对数型方程、指数型方程等类型加以求解；第三步得出结论.例1已知函数22,1()log,1xaxfxxx，若1(())42ff，则a（）A．16B．15C．2D．23【答案】B【解析】考点：分段函数与对数运算.【点评】本题考查了分段函数的求值问题，以学生熟悉的对数函数和一次函数为载体，渗透了分类讨论的思想，考查了学生基本运算能力和分类思想的培养.【变式演练1】在函数22,1,122,2xxyxxxx中，若()1fx，则的值是（）A．B．312或C．1D．3-2-【答案】C【解析】试题解析：当1x时，211xx；当12x时，211xx；当2x时，1212xx（舍）.考点：本题考查函数性质【变式演练2】函数22log,0()41,0xxfxxxx，若实数a满足(())ffa=1，则实数a的所有取值的和为（）A．1B．17516C．15516D．2【答案】C【解析】考点：1．函数的表示；2．函数与方程；3．分类讨论思想．类型二单调性问题使用情景：分段函数的单调性问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；-3-第三步满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；第四步得出结论.例2已知函数232,0,32,,0xxfxxaax在区间,上是增函数,则常数的取值范围是（）A．1,2B．,12,C．1,2D．,12,【答案】C【解析】考点：1．分段函数；2．函数的单调性．点评：本题考查了分段函数的单调性，渗透着分类讨论的数学思想，考查学生正确理解函数的单调性的概念，其解题的关键点有二：其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.【变式演练3】函数4,log4,422xxxxxxf，若函数xfy在区间（，+1）上单调递增，则实数的取值范围是（）A.（-，1B.1,4]C.4,+）D.(-,1∪4,+）【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，函数fx在,2，4,上为单调递增，所以有12a„或4a…，即实数的取值范围为,14,.故正确答案为D。考点：分段函数单调性的应用.【变式演练4】已知函数1,log1,4)13()(xxxaxaxfa在R是单调函数，则实数的取值范围-4-是．【答案】1173，.【解析】考点：分段函数的单调性．类型三最值问题使用情景：分段函数的最值问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；第三步满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值；第四步得出结论.例3设函数2()4,()()2(),()(),()gxxxgxgxxxRfxgxxxgx，则()fx的值域是（）A．[0,)B．9[,)4C．9[,0](1,)4D．9[,0](2,)4【答案】D【解析】试题分析：由题意，可知]2,1[,2),2()1,(,2)(22xxxxxxxf，因此问题就等价于求二次函数在给定区间上的取值范围，∴若(,1)(2,)x，则),2()(xf，若-5-]2,1[x，]0,49[)(xf，∴)(xf的值域为9[,0](2,)4.考点：复合函数的值域.【点评】本题考查了分段函数的最值问题，渗透着分类讨论的思想，考查学生全面思考问题的能力，属中档题.其解题的关键是对其进行合理的分类讨论.例4,0,1,0,)()(2xaxxxaxxf若)0(f是)(xf的最小值，则的取值范围为（）.(A)-1,2](B)-1，0](C)1，2](D)[0,2]【答案】D考点：分段函数的单调性与最值问题．【变式演练5】已知函数223,1()lg(1),1xxfxxxx，则((3))ff，()fx的最小值是．【答案】，3-22.【解析】0)1())3((fff，当1x时，322)(xf，当且仅当2x时，等号成立，当1x时，0)(xf，当且仅当0x时，等号成立，故)(xf最小值为322.考点：分段函数【高考再现】1.【2016高考山东文数】已知函数2||,()24,xxmfxxmxmxm其中0m，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】3,【解析】试题分析：-6-画出函数图象如下图所示：由图所示，要fxb有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30mmmmmmm，解得3m考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.2.【2015高考山东，文10】设函数3,1()2,1xxbxfxx，若5(())46ff，则b()（A）（B）78（C）34(D)12【答案】D【考点定位】1.分段函数；2.函数与方程.【名师点睛】本题考查了分段函数及函数方程思想，解答本题的关键，是理解分段函数的概念，明确函数值计算层次，准确地加以计算.本题属于小综合题，在考查分段函数及函数方程思想的同时，较好地考查了考生的运算能力及分类讨论思想.-7-3.【2015高考陕西，文4】设1,0()2,0xxxfxx，则((2))ff（）A．1B．14C．12D．32【答案】C【解析】因为21(2)24f，所以1111((2))()114422fff，故答案选C.【考点定位】1.分段函数；2.复合函数求值.【名师点睛】1.本题考查分段函数和复合函数求值，此题需要先求(2)f的值，继而去求((2))ff的值；2.若求函数[()]ffa的值，需要先求()fa的值，再去求[()]ffa的值；若是解方程[()]ffxa的根，则需先令()fxt，即()fta，再解方程()fta求出的值，最后在解方程()fxt；3.本题属于基础题，注意运算的准确性.4.【2015高考新课标1，文10】已知函数1222,1()log(1),1xxfxxx，且()3fa，则(6)fa（）（A）74（B）54（C）34（D）14【答案】A考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质【名师点睛】对分段函数求值问题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论；若是已知函数值求自变量，先根据函数值确定自变量所在的区间，若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解.5．【2015高考天津，文8】已知函数22||,2()(2),2xxfxxxì-?ï=í-ïî,函数()3(2)gxfx=--,则函数y()()fxgx=-的零点的个数为（）(A)2(B)3(C)4(D)5-8-【答案】A【考点定位】本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.【名师点睛】本题解法采用了直接解方程求零点的方法,这种方法对运算能力要求较高.含有绝对值的分段函数问题,一直是天津高考数学试卷中的热点,这类问题大多要用到数形结合思想与分类讨论思想,注意在分类时要做到:互斥、无漏、最简.6.【2014重庆文第10题】已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]xfxgxfxmxmxxx且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.91(,2](0,]42B.111(,2](0,]42C.92(,2](0,]43D.112(,2](0,]43【答案】A【解析】试题分析：4321123456642246令hxmxm，则问题转化为fx与hx的图象在1,1内有且仅有两个交点；fx-9-是一个分段函数，hx的图象是过定点1,0的直线发上图所示，易求当直线与曲线在第三象限相切时，94m由图可知，924m或102m,故选A.考点：1、分段函数；2、函数的零点；3、数形结合的思想.【名师点睛】本题考查了分段函数的图象，函数的零点，数形结合的思想，本题属于中档题，注意转化思想的应用.7.【2014，安徽文9】若函数()12fxxxa的最小值3，则实数的值为（）A．5或8B．1或5C．1或4D．4或【答案】D．【解析】考点：1．绝对值函数的最值；2．分类讨论思想应用．【名师点睛】对于含绝对值的不等式或函数问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法，特别是用于多个绝对值的和或差的问题，另外，利用绝对值的几何意义解题会加快做题速度.本题还可以利用绝对值的几何意义进行求解.-10-【反馈练习】1．【2016届浙江省湖州中学高三上学期期中数学试卷，理10】设函数,0,,0,4)(2xxxxxf,若]1)([)]([affaff，则实数的取值范围为（）A．]0,1(B．]0,1[C．]4,5(D．]4,5[【答案】C【解析】试题分析：当0,10fafa，即5a时；[()](4)8,[()1]9ffafaaffaa，故[()][()1]ffaffa，故]1)([)]([affaff不成立；当0,14fafa，即54a时；2[()](4)8,[()1](5)(5)ffafaaffafaa，又28(5)aa在(5,4]上显然成立即故[()][()1]ffaffa，故选C．考点：分段函数的应用．2．【2015届天津市一中高三上学期第二次月考数学试卷，文9】定义一种运算babbaaba,,，令txxxxf224（为常数），且3,3x，则使函数xf最大值为4的值是（）A．2或6B．4或6C．2或4D．4或4【答案】C．【解析】考点：函数的性质及应用.3．【2015届江西省上高二中高三上学期第三次月考数学试卷，理12】已知函数-11-2|log|,02()sin(),2104xxfxxx，若存在实数1x，2x，3x，4x，满足1234xxxx，且1234()()()()fxfxfxfx，则3412(2)(2)xxxx的取值范围是（）A．(4,16)B．(0,12)C．(9,21)D．(15,25)【答案】B．【解析】考点：奇函数的性质．4.【2014-2015学年云南省玉溪第