10非周期信号的频谱分析_第三节连续时间Fourier变换的性质

1非周期信号的频域分析连续非周期信号的频谱常见连续的频域分析连续时间Fourier变换的性质离散周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析12傅立叶变换的基本性质1.线性特性2.共轭对称特性3.对称互易特性4.展缩特性5.时移特性6.频移特性7.时域卷积特性8.频域卷积特性9.时域微分特性10.积分特性11.频域微分特性12.能量定理231.线性特性，；若)j()()j()(2211FtfFtfFF)j()j()()(2121bFaFtbftafF则其中a和b均为常数。3p157例42.共轭对称特性)j()(FtfF若)j(*)(*FtfF则当f(t)为实函数时，有|F(j)|=|F(j)|，()=())j(*)(*FtfF)(je)j()j(FF=)j(j)j(IRFF=)j()j(),j()j(IIRR==FFFFF(j)为复数，可以表示为4证明在P15752.共轭对称特性)j()(FtfF若)j(*)(*FtfF则当f(t)为实偶函数时，根据上式有F(j)=F*(j)，F(j)是的实偶函数)j(*)(*FtfF当f(t)为实奇函数时，有F(j)=F*(j)，F(j)是的虚奇函数5因为FR(jw)为偶函数63.时移特性)j()(FtfF若0j0e)j()(tFFttf则式中t0为任意实数证明：tttfttfFtde)()]([j00=令x=tt0，则dx=dt，代入上式可得xxfttfFxtde)()]([)(j00=0je)j(tF=信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。67例1试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。0A2t2)(tf0At)(1tfT解：无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t)如图，)2(Sa)j(=AFTFFj1e)j()j(=)()(1Ttftf=TAje)2(Sa=因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为784.展缩特性证明:)j()(FtfF若)j(1)(aFaatfF则tatfatfFtde)()]([j=)j(1de)(1)]([jaFaxxfaatfFxa==令x=at，则dx=adt，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。894.展缩特性0A2)2(2F0A)(F22)2(tftA44)(21tft0)(tft220A21)21(21F44)j()(FtfF若)j(1)(aFaatfF则910尺度变换后语音信号的变化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)10115.互易对称特性)(tf220At)(f220A)j()(FtfF若)(π2)j(ftFF则Aπ2π4π2π4F(j)Atπ2π4π2π4F(jt)/211126.频移特性（调制定理）若则)j()(FtfF)](j[e)(0j0FtfFtttftfFtttdee)(]e)([jjj00=式中0为任意实数证明：由傅里叶变换定义有ttftde)()j(0=)](j[0=F12136.频移特性（调制定理）]cos)([0ttfF]e)([21]e)([2100jjtttfFtfF=信号f(t)与余弦信号cos0t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。]sin)([0ttfF)](j[21)](j[2100=FF)](j[2j)](j[2j00=FF同理]e)([j21]e)([j2100jjtttfFtfF=1314例2试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0t相乘后信号的频谱函数。)2(Sa)j(=AF]cos)([0ttfF)](j[21)](j[2100=FF应用频移特性可得解:已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为}2(Sa2(Sa{2)0)0=A1415例2试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0t相乘后信号的频谱函数。解:0)j(FA000)]cos()([0ttfFA/20A2/t2/)(tf2/At2/ttf0cos)(15167.时域卷积特性)j()()j()(2211FtfFtfFF若)j()j()()(2121FFtftfF则=ttfftftfFtde]d)()([)]()([j2121=d]de)()[(j21ttfft)j()j(21FF=证明：=de)j()(j21Ff2617例9求如图所示信号的频谱。解：)(*)()(22tptptf=)(Sa4)j(2=F)(2Sa)(2tp)j()j()()(2121FFtftfF由f(t)t222027188.频域卷积特性证明：)j()()j()(2211FtfFtfFF若)]j()j([π21)()(2121FFtftfF则ttftftftfFωtde)]()([)]()([j2121==tFtfΩtωtd]de)j(π21[e)(j1j2=]de)([d)j(π21)j(21ttfFt=]d)](j[)j(π2121FF)]j()j([π2121FF=29199.时域微分和积分特性若信号不存在直流分量即F(0)=0)j()(FtfF若)()0(π)j(j1d)(FFfFt则)j(j1d)(FfFt则)j()j(d)(dFttfnFnn20例3试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。解：tf(t)110t110y(t)=p(t0.5)ttyttptftt)d(d)5.0()(==利用时域积分特性，可得)()0(π)j(j1)j(YYF=5.0je)5.0(Sa)j()5.0(=YtpF)(πe)5.0(Saj15.0j=由于21例4试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。解：tf(t)1210tf1(t)110tf2(t)110将f(t)表示为f1(t)+f2(t)即ttptftd)5.0(1)(=)(π3e)5.0(Saj1)j(5.0j=F1822例5试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。解：)2()2()('=tAtAtf2j2jee)]('[=AAtfF)j()j()]('[FtfF=)2(Sa)2sin(2)j(AAF==由上式利用时域微分特性，得)2sin(j2=A因此有)2sin(j2=A0(A)2/t2/)('tf(A))(tf220At2023例6试利用微分特性求图示信号f(t)的频谱函数。解：tf(t)1210t110f'(t))5.0()('=tptfj0.5Sa(0.5)eF5.0je)5.0(Saj1)j(=F利用时域微分特性，可得)(π3e)5.0(Saj15.0j信号的时域微分，使信号中的直流分量丢失。2124时域微分特性—修正的时域微分特性)j()(FtfF若'1()(j)FftF则j)j()())()((π)j(1FffF=22nnnnjjFjFtfjFtfff)()()()()()(,0)()(==则且若结论：可求导到够简单再求频谱25例7试利用修正的微分特性求图示信号f(t)的频谱函数。解：tf(t)1210t110f'(t))()5.0()('1tftptf==5.0j1e)5.0(Saj1)j(FF利用修正的微分特性，可得5.0je)5.0(Saj1)(π3=j)j()())()((π)j(1FffF=与例4结果一致！232610.频域微分积分特性()()ftFj若()()()()nnjtftFj则1(0)()()()ftftFjxdxjt1(0)()2fFjd=证明27例8试求单位斜坡信号tu(t)的频谱。)()()('jFtfjtj1)(π)]([=tuF解：已知单位阶跃信号傅里叶变换为:故利用频域微分特性可得:21π()j=25djdFjttuttf)()()(=另法u(t)*u(t)?可解否例题2812.非周期信号的能量谱密度上式表明信号的能量也可以由|F(j)|2在整个频率范围的积分乘以1/2来计算。物理意义：非周期能量信号的归一化能量在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。221|()|d|(j)|d2πWfttF==帕什瓦尔能量守恒定理：312912.非周期信号的能量谱密度221|()|d|(j)|d2πWfttF==帕什瓦尔能量守恒定理：2|)j(|π21)(FG=定义单位角频率的信号能量为能量频谱密度函数，简称能量谱。32()G30例11计算。解：tttd)sin(2由)(π}sin{2pttF=根据Parseval能量守恒定律，可得tttd)sin(2=d|)(π|π2122pπdππ21112==3331傅里叶变换性质一览表1.线性特性2.对称互易特性3.展缩特性4.时移特性5.频移特性6.时域卷积特性7.频域卷积特性8.时域微分特性9.积分特性10.频域微分特性)(π2)j(ftFF)j(1)(aFaatfF0j0e)j()(tFFttf)](j[e)(0j0FtfFt)j()j()()(2121FFtftfF)]j()j([π21)()(2121FFtftfF)j()j(d)(dFttfnFnn)()0(π)j(j1d)(FFfFtnnnFnFtftd)j(dj)()j()j()()(2121bFaFtbftafF3432重要概念：非周期信号的频谱1)非周期信号的频谱与周期信号的频谱的区别2)非周期信号频谱的物理意义3)非周期信号频谱的分析方法：应用常用基本信号的频谱与傅里叶变换的性质分析问题使用的数学工具：傅里叶变换工程应用：调制、解调，频分复用35