浙师大建模作业

0本科生课程论文课程名称数学建模开课时间2013-2014第二学期学院数理与信息工程学院学科专业数学与应用数学学号12170321姓名汤丽娅、蒋滢蓥、吴瑞任课教师成绩评阅教师签名1地板砖铺设建模摘要工程中经常会遇到把某种固定形状的材料铺到某物体表面的问题。房屋的地板砖铺设就是其中的一种实例。在本类题目中，我们需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面因素，目标是为了使成本达到最小化。问题一是要建立地板砖铺设的总成本的模型，首先进行变量设定。设定变量时尽量简单准确，进而使得模型更加精简易懂。根据题目信息，考虑到影响地板砖铺设总费用的因素有地板砖的尺寸、价格、切割费用、破损概率，我们对各个因素分别进行讨论，容易得到他们之间的等量关系。其中用到的数学思想有分类讨论，使用零一变量等。综合上述讨论，可以得到铺设地板砖总费用关于各个变量之间的关系式。模型建立初步完成。最终我们得出铺设地板砖所需的总费用W为：W=180An′+130Bn′+80Cn′+72Dn′+45En′+Q+U，其中U为切割总费用且U=a*Ln;其中a为常数。问题二是要使用一种尺寸的地板砖进行铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。从问题一中我已经得知，可以将模型的求解简化。我们将要铺设的区域进行划分，并分别求解各种板砖的铺设费用，得到费用最低的方案。在模型中，我们设总费用最低为目标函数，再根据地板砖铺设的长宽与矩形长宽的大小关系列出约束条件。最后使用Lingo软件求出最优解。最终我们分析得到800*800的尺寸砖块的铺设成本最低，为42757元，300*300尺寸的砖块利用率最高，为98.10%。问题三是若允许使用多种尺寸的地板进行混合铺设，需要实现板砖的自动铺设，并计算出铺设各种尺寸板砖的块数、利用率和总费用。由于此时需要混合铺设，且各板砖的尺寸不一样，因此我们需要在第一、二问的基础上将过程进行修改。从问题一的过程及结论中我们可以得到，要优先考虑最大的尺寸。其余部分则用小尺寸，或者采取切割手段。在此铺设方案的基础上，以铺设费用最小为目标函数，建立目标规划模型，对此模型进行求解得到各类地板砖的块数、利用率和总费用。由分析可知，混合铺设时800*800、600*600、600*300、400*4000、300*300的块数分别为192、2、33、57、2，总费用为47596元。该模型采用0-1变量，使用Matlab软件和Lingo软件，计算出铺设地板砖的最少费用。缺点是没有很好的利用切割后剩余的材料、模型较为理想化，现实存在的一些问题不能充分考虑、对于一些结构复杂及形状不规则的户型，区域划分较为困难，应用此模型求解时较为复杂、未考虑实际情况相爱多种类型地板砖混合铺设对美观效果的影响。但是对于一些较规则的材料，可以利用此模型求出费用最少的铺设方法。关键词：地板砖铺设模型最优解高斯函数2一、问题重述在地板砖的铺设问题中，需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面，目标是为了使成本最小化，同时需要考虑整块地板砖的使用比例，即切割地板砖数尽量少，达到美观效果。设工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示。需要铺设的房屋地面结构如图1所示。假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费用跟切割长度成正比。1.请综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。2.若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，请设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。3.若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，又如何实现地板砖的自动铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。4.根据你的模型、算法和计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。表1各种地板砖相关参数尺寸mm单价（元）破损概率（%）切割成本（元/块）800*80018084600*60013073600*3008063或1.5400*4007252300*3004531.5图1户型结构图（单位mm）3二、模型的假设与符号说明2.1模型假设1.假设各尺寸板砖的材料、颜色一致；2.假设破损的砖不可利用；3.进行铺设面积计算时，忽略地板砖缝隙，墙厚等因素；4.不考虑房间过门处对铺设面积的影响；5.不考虑房间中尺寸不明墙壁对铺设面积的影响；2.2符号说明符号说明ηi1yxiyiNinimiaibipiUQWS第i个房间的横向边长第i个房间的纵向边长第i个房间所需的地板砖数第i个房间所需未切割地板砖的数量第i个房间所需切割地板砖的数量第i个房间横向未切割地板砖的数量第i个房间纵向未切割地板砖的数量第i个房间地板砖破损的数量切割总费用总费用地板砖总费用利用率房间总面积4三、模型的建立与求解3.1问题一3.11问题分析地板砖铺设的总成本包括铺设所需的地板砖费用、破损的地板砖费用和切割地板砖的成本，因此我们将对这三项分别进行计算，从而计算出总成本。基于所给的户型图结构过于复杂，我们将其分为13个矩形。(如图2)要使得地板铺设总费用最低，我们要考虑地板砖不同尺寸的选择，多种不同规格的地板砖如何组合进行铺设等多个因素。虽然有点复杂，但是我们从表1可以看出，所有地板砖切割成本均为1元/200mm（例如题中800*800mm尺寸的切割成本是4元/块，故4/800=1/200）,但800*800的地板砖性价比最高，最小尺寸的地板砖性价比最低。所以在铺设地板时，我们需要尽可能地使用大尺寸板砖，而大尺寸的板砖无法覆盖的区域则采用小尺寸的板砖。3.12模型建立⑴1、假设在第i个房间需要Ni块板砖，则可列出关于Ni，ni，pi，mi的等式：Ni=ni+pi+mi（1）又因为在第i个房间中，未切割的板砖数为ni，则有关于ni，ai，bi的等式：ni=ai*bi（2）引入变量0-1变量yi1，yi2，其中yi1为矩形i的长，yi2为矩形i的宽yi1={0当矩形i的长是地板砖边长的整数倍时1当矩形i的长不是地板砖边长的整数倍时yi2={0当矩形i的宽是地板砖边长的整数倍时1当矩形i的宽不是地板砖边长的整数倍时由于房间纵向与横向边长不一定是大规格的整数倍，假设第i个房间所用地板砖被切割的块数为mi，则可得到关于mi，yi1,yi2的等式：mi=yi1*ai+yi2*bi（3）53.13模型的求解计算得第i个房间所用地板砖的总数为Ni，但是由于每块板砖都有一定的规格，所以房间的边长不一定是最大规格地板砖的整数倍。由于在上面我们已经引入0-1变量，故不用进行复杂的分类讨论，可以直接求出房间所用地板砖的数量。Ni=ai*bi+yi1*ai+yi2*bi出于表示方便考虑，对各种地板砖按照规格大小分别定义为A,B，C,D,E这五类。那么在i号房间所用各类地板砖数则为Ai，Bi，Ci，Di，Ei，由此可得到关于地板砖总数的方程组：1231312313123131231312313AnAAAABnBBBBCnCCCCDnDDDDEnEEEE用Li表示第i个房间需要切割的地板砖的长度，则总共需要切割的长度为Ln，即Ln=L1+L2+L3+……L13；则切割总费用U=a*Ln;其中a为常数；又因为地板砖本身的破损率，因此地板砖的实际购买数分别为：An′=[An/92%],Bn′=[Bn/93%],Cn′=[Cn/94%],Dn′=[Dn/95%],En′=[En/97%]注：定义[X]为高斯函数（即取整）。综上可得，铺设地板砖所需的总费用W为：W=180An′+130Bn′+80Cn′+72Dn′+45En′+Q+U；63.2问题二3.21问题分析问题二是要使用一种尺寸的地板砖进行铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。从问题一中我已经得知，可以将模型的求解简化。我们将要铺设的区域划分为13块矩形区域。在每块区域计算5种地板砖的铺设成本，再比较哪种地板砖的总费用最低。在模型中，我们设总费用最低为目标函数，再根据地板砖铺设的长宽与矩形长宽的大小关系列出约束条件。最后将程序输入Lingo软件求出最优解。根据表中的数据我们可以求出房间总面积为123165000mm2，利用率为房间总面积除以地砖总面积的百分值。3.22模型的建立上面的符号说明中已经表明ai为矩形i横向未切割地板砖的数量，bi为矩形i纵向未切割地板砖的数量。所以矩形i未切割地板砖的数量ni=ai*bi由问题一知矩形i切割地板砖的数量为mi=yi1*ai+yi2*bi设pj为第j种地板砖的破损率，则所以矩形i所需地板砖总共为1iiijnmNp第i个矩形切割总长度为li=yi1*ai*xi+yi2*bi*yi切割200mm长度的地砖价格为一元，所以第i个矩形切割费用为Ui=li/200第j种地板砖的单价为Aj，故第i个矩形所需地板砖费用为Wi=Ni*Aj第i个房间的总费用为1212*a*******1200iiiiiiiiiiiiijjyxybyabyaybQAp7综上铺设地板砖的总块数为13121***1iiiiiiijabyaybNp铺设地板砖的利用率为13121*100%***1iiiiiiijsNabyaybp铺设地板砖所用的总费用为1312121*a*******1200iiiiiiiiiiiijijyxybyabyaybQAp可令目标函数为1312121*a******min*1200iiiiiiiiiiiijijyxybyabyaybQAp约束条件为矩形宽的约束：①Bj*biyi②Bj*（bi+1）yi矩形长的约束：③Bj*aixi④Bj*（ai+1）xi（其中Bj为第j中方形地板砖的边长）对于不是方形的“600*300”规格的地板砖可以分为两种方法进行铺设，方法同上。83.23问题二的模型求解对于计算一种地板砖铺设房间的问题，可将上述建立的模型通过Lingo编程求得第i个房间用第j种地板砖所需的总费用。如下表来表示计算结果。尺寸mm800*800600*600300*600600*300400*400300*300总块数2173556746817911292总费用427574998857814583656052160807利用率82.14%89.26%94.02%93.06%90.13%98.10%表2建立总费用与尺寸的折线图。如下图3从图中我们可以得出的结论是：随着地板砖尺寸的减小，铺设地板砖的费用增加。427574998857814583656052160807010000200003000040000500006000070000铺设地板总费用（元）总费用（元）93.3模型三3.31问题分析该问题是若允许使用多种尺寸的地板进行混合铺设，需要实现板砖的自动铺设，并计算出铺设各种尺寸板砖的块数、利用率和总费用。由于此时需要混合铺设，且各板砖的尺寸不一样，因此我们需要在第一、二问的基础上将过程进行修改，使得在铺设过程中板砖能够尽可能的少，且利用率尽可能的高。从问题二折线图中我们可以得到，800*800的地砖是性价比最高的，因此在问题三中我们在铺设重新划分的十三个矩形房间需要用到各个尺寸的板砖时，优先考虑最大的尺寸。在用800*800的地砖铺设每个房间后，其他小区域我们则采用较小规格的且与空隙间隔规格相符合的地板砖，若此时后铺上的地板砖仍不满足要求，则对相应尺寸大小的板砖进行切割，使得房间内可以全部铺上地板砖，实现地板砖的自动铺设。在此铺设方案的基础上，在满足切割块数最小的基础上，以铺设费用最小为目标函数，建立目标规划模型，对此模型进行求解得到各类地板砖的块数、利用率和总费用。3.32模型建立正如问题分析所示，我们先假设每个房间用同一规格的地板砖来进行