正交试验法的原理

§3-3正交试验法的原理为什么正交试验能减少试验次数？正交表中所列出的试验为什么具有很好的代表性？现做简单的说明：若用立方体的每一个面来表示因素的某个水平，假定：用左、右两个面表示因素A的一、二水平(假定右边的面为一水平、左边的面为二水平，分别用数字“1”、“2”表示)；用上、下两个面表示因素B的一、二水平(假定上边的面为一水平、下边的面为二水平，分别用数字“1”、“2”表示)；用前后两个面表示因素C的一、二水平(假定前边的面为一水平、后边的面为二水平，分别用数字“1”、“2”表示)。这样，立方体的6个面就分别表示了不同因素的不同水平。立方体有8个顶点，每个顶点是3个平面的交点，它表示3个因素的1种水平的搭配。因此，8个顶点就代表着全部的8组水平搭配。如果这8组水平搭配的试验全做(即做全面试验)，则试验次数较多，若选用L4(23)正交表来安排试验，就可以减少试验次数，只做4次就可以了。那么，这4次试验反映在正方体中是哪几个顶点那？因素试验号ABC11(右)1(上)1(前)22(左)12(后)312(下)24221这4个顶点有什么性质那？这4个顶点分别均匀分散在立方体的每一个面和每一条棱上，即每条棱上恰好有一个顶点，占1条线段2个端点的1/2；每个平面都有2个顶点，占正方形4个顶点的一半(2/4)；而这4个顶点又是立方体全部顶点的一半(4/8)，这三者的比例均是1/2。由此可见，正交表所列出的4个试验，即所占的4个顶点，将立方体的前、后、上、下、左、右6个面，12条棱全面照顾到了，而且是按同样的比例照顾到各个部分，换句话说，这4个顶点均衡地分散在全部8个顶点中，我们把这种特性叫做“均衡分散性”。它具有极强的代表性，能全面地反映、分析出全面试验的最佳条件。我们仍以此例来说明正交表安排试验的另一特点，即“综合可比性：。若4次试验的结果如表2所示：列号水平试验号123试验评分指标ABC11(A1)1(B1)1(C1)222(A2)12(C2)3312(B2)1542221K1753K2468R315表2试验方案及其结果直观分析现在来分析因素A的2个水平对试验指标的影响。用因素A的一水平的第1、3号试验评分之和K1作为A1的效应，用因素A的二水平的第2、4号试验评分之和K2作为A2的效应，显然，K1、K2间出现差异，那么这种差异是什么原因造成的那？我们不妨列表加以分析组别试验号因素A因素B因素CB、C间的搭配甲1、3A=A1的两次试验B1、B2各一次试验C1、C2各一次试验B1C1B2C2乙2、4A=A2的两次试验B1、B2各一次试验C1、C2各一次试验B1C2B2C1表3试验条件的安排由表3可知，在两组试验中，B、C两因素的不同水平在每组中个出现一次，所不同的是A因素的水平不同。因此，可以认为，B、C两因素对K1、K2的影响大致相同，它们之间的差异主要是由A因素选取的水平不同引起的。同样，B、C两因素也有类似的性能。这样，由于采用正交试验设计法，能在B、C变化的情况下比较A因素的水平，这叫做“综合可比性”。“综合可比”是相对有效的，而不是绝对的。上面所说的K1、K2之间的差异主要是由A因素选取的水平不同所引起的。实际上它是在B、C两因素对K1、K2的影响“可以认为是大致相同的”这一假设的前提下提出的，因为我们所讨论的只考虑了单个因素B和单个因素C对指标的影响，从表3可以看出，两组试验B、C间的搭配是不同的，它们对指标的影响也是不相同的，所以相互是抵消不掉的，从这个意义上将K1、K2之间并非绝对可比，它们仅仅是相对有效的，所以称之为“综合可比性”。总之，正是因为用正交表安排试验时，具有“均衡分散性”和“综合可比性”两个特点，才能取得既能减少试验次数，又能找到较优条件的良好效果。§3-4水平数不等试验的正交设计及其结果分析前面所讨论的都是水平数相等的试验，即所要考查的各个因素皆取同样多的水平数。但是在有些试验中，由于条件的限制，某些因素不能多选水平，或者由于试验时，需要侧重考察某些因素的多选水平，这时就会碰到水平数不等的试验。安排水平数不等的试验有多种方法，可以直接套用水平数不等的正交表，即混合型正交表，也可以采用拟水平法或部分追加法。一.直接使用混合水平表现以碳还原氧化铜实验为例予以说明。该实验的目的是：探索在普通酒精灯加热条件下，碳还原氧化铜的最佳实验条件；使学生能够清楚地观察到反应时的放热现象和反应后金属铜的生成。具体实验方法是：分别将氧化铜和木炭(或活性炭)粉末烘干、研磨、过筛，并按一定的质量比称量、混匀，每次取3g混合物物料于试管中。实验时，先用酒精灯加热试管中的混合物料(所用时间称为预热时间)，然后用鼓气球通过尖嘴对着酒精灯的火焰鼓入空气，使火焰在混合物料部位达到较高的温度，大约30秒，反应即开始，届时应迅速撤去酒精灯，待反应停止后，将会观察到黑色的氧化铜变为紫色的金属铜。本实验以铜的产率为指标，因素水平的选取如表4所示：因素水平AmC:mCuOB碳的类型C预热时间/s一1:7木炭90二1:9活性炭60三1:11四1:13这是一个具有1个四水平和2个水平因素的实验。我们可以在混合型正交表中找到合适的正交表L8(4×24)。在设计标头时，可把A因素(四水平)放在表头第1列，其它两个因素依次放在表头2、3列上，第4、5列空缺。其实验结果如表5所示这类试验的计算分析和前面介绍的水平数相等的正交试验是类似的，只是在计算K和k值时，由于水平数的不同而略有差异。如第1列，由于有4个水平，所以需计算4个K和k值而每个K皆为两次实验指标之和，相应k值为K/2，对于二水平的第2、3列，由于只有2个水平，故只需计算2个K和k值，而每个K值应为4次实验指标之和，相应的k值为K/4.因素试验号AmC:mCuOB碳的类型C预热时间/s试验指标Cu的产率(%)11(1:7)1(木炭)1(90)85.94212(活性炭)2(60)78.3032(1:9)1193.66422284.8253(1:11)1273.72632173.7574(1:14)1266.78842164.27因素试验号AmC:mCuOB碳的类型C预热时间/s试验指标Cu的产率(%)K1164.24320.10317.62K2178.48301.14303.62K3147.47K4131.05k182.1280.0379.41k289.2475.2975.91k373.74k465.53R23.714.743.50R*15.096.734.97从实验结果及分析中，可以得到一下几点结论：第一：各因素对实验指标影响的主次关系为：主-----------------------------------------------次[mC:mCuO][碳的类型][预热时间]ABC第二：各因素的最佳水平搭配为A2B1C1，即碳与氧化铜的质量比为1:9；碳的类型为木炭；预热时间为90秒。这一最佳条件恰好是第3号实验，其产率高达93.66%。在实际工作中，有时会遇到这样的情况，即在现成的混合型正交表中找不到合适的表，或即使能找到，但需要做的实验次数较多，这就要采用其它的方法。二.拟水平法拟水平法就是将水平数少的因素纳入到水平数较多的正交表内的一种处理方法。现仍以碳还原氧化铜为例。其因素水平表如下图所示：因素水平AmC:mCuOB预热时间/sC碳的类型一1:860活性炭二1:990木炭三1:10120由于实验中，碳只考虑了两个水平，套用现成的混合型正交表L8(2×37)，需做18次实验。能否少做一些实验那？若将因素C某一水平(一般是选用实验效果较好的水平)重复一次，充当第三水平，使因素C在形式上变成三水平，这样就可直接套用L9(34)表，只需做9次实验了。只不过，因素C第三水平只是形式上的水平，故称做拟水平。这种处理问题的方法即为拟水平法，三.部分追加法部分追加法就是通过做一些补充试验来处理混合水平问题的一种方法。在有些实验中，按正交表作了一批试验后，发现某一因素对试验指数的影响有某种趋势，需要进一步考察，这时可对该因素添加若干新的水平，追加一部分试验，以便对它的影响有更全面的了解，这时，就可采用部分追加法。它的有点是无需对正交表进行改造，缺点是分析试验结果是稍微麻烦些。仍以碳还原氧化铜为例，其因素水平表如下表：这是一个具有1个三水平因素和2个二水平因素的实验，可选用L12(3×24)表，需做12次实验，如果A因素只有2个因素水平，则可选用L4(23)表，只需做4次实验就可以了，可以使用L4表，先做4次实验，然后再采用部分追加法通过补做实验的办法，来考察因素A的另一水平。因素水平AmC:mCuOB预热时间/sC碳的类型一1:860活性炭二1:990木炭三1:10§3-5交互作用试验的正交表设计及其结果分析一.交互作用的概念在有些实验中，不仅各因素本身对实验指标有影响，而且各因素之间还会联合起来对实验指标产生作用，这种因素间的联合作用叫做交互作用。通常用A×B表示因素A和因素B的交互作用。因素之间存在交互作用的例子很多，现举例如下：某实验小组希望通过实验来考察氮肥(N)和磷肥(P)对某种作物产量的影响，为此选择了4块土地肥力大致相同的试验田，其施肥情况和产量如下表所示：磷肥(P)氮肥(N)P1=0P2=5N1=0200280N2=6250410从表中可以看到：第一.不施化肥(N1=0，P1=0)，产量为200kg第二.不施氮肥，只施磷肥(N1=0，P1=5)，产量为280kg，增产280-200=80kg第三.不施磷肥，只施氮肥(N1=6，P1=0)，产量为250kg，增产250-200=50kg第四.同时施氮肥与磷肥(N1=6，P1=5)，产量为410kg，增产410-200=210kg可见，同时使用氮肥、磷肥的增产量(210kg)并非是单独使用磷肥、氮肥的增产量之和(80+50=130kg)，而比单独使用2种肥料的增产量之和还多出80kg，这种氮肥、磷肥联合起来对增产所产生的影响，即为交互作用。严格说来，因素之间总是存在着交互作用的，只不过有的对试验指标影响较大，有的影响较小。当两个因素之间的交互作用与单个因素对试验指标的影响比起来相对较小时，一般这种交互作用就被忽略掉了。当因素间有交互作用，而且希望通过实验分析交互作用对试验指标的影响时，试验方案的设计与前面讲过的就稍有不同，安排这一类试验要用交互作用正交表。二.交互作用的试验方案设计及其结果的直观分析1.两列间的交互作用在常用的正交表后面，有的附有一张“两列间交互作用列表”，这是专门用来分析交互作用的。现以L8(27)正交表上安排A、B、C三个因素并考虑A×B、B×C、A×C的交互作用为例予以说明：列号列号12345671(1)3254762(2)167453(3)76544(4)1235(5)326(6)17(7)若查第1列和第2列的交互作用列，就从括号(1)横着向右看，再从最上面一行数字2竖着向下看，它们的交叉点是3，它表示第1、2列的交互作用列是第3列。这样，在安排试验时，若A因素排在第1列，B因素安排在第2列，则A×B就安排在第3列，第3列既已安排了A×B，就不再安排其他因素了，以免发生效应间的“混杂”，这样，因素C只好安排在第4列，A×C安排在第5列，B×C安排在第6列.因素在某一水平变化范围内起交互作用可能较大，但它在另一水平变化范围内其因素间的交互作用可能很小，以致于可以忽略不计。交互作用的大小与因素水平选取的范围有关。