三次函数的对称中心问题

三次函数的对称中心问题广州市第四中学高二3班梁隽铭指导教师刘运科对于三次函数320yaxbxcxda，作出图象，经观察，发现其图象有四种形状：可以发现，其图象具有中心对称性.如何考虑求出320yaxbxcxda的图象的对称中心坐标呢？下面是我的探究过程.先考虑较简单的两个特殊情况：一、求30yaxcxa的图象对称中心坐标.此特殊情况较简单.因30yaxcxa是奇函数，故其对称中心坐标为00O，.二、求30yaxcxdad的图象对称中心坐标.此特殊情况也较简单.将3yaxcx的图象通过适当平移就可得到30yaxcxdad的图象.当0d时，将3yaxcx的图象向上平移d个单位长度，就可得到30yaxcxdad的图象；当0d时，将3yaxcx的图象向下平移d个单位长度，就可得到30yaxcxdad的图象.因3yaxcx是奇函数，对称中心坐标为00O，，故30yaxcxdad的图象对称中心为0Pd，.上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的性质.有了上面两种情况的铺垫，似乎求320yaxbxcxdab的图象的对称中心坐标较容易了，其实不然.因320yaxbxcxdab是非奇非偶函数，无法从奇偶性方面找到突破口.下面先来考虑当0ab时，最简单的一个具体实例：三、求32yxx的图象对称中心坐标.首先，利用GC，探究32yxx的图象对称中心坐标.步骤：①．画出321fxxx的图象，并适当调整xy、的取值范围，如图1；②．观察图象，函数有两个极值点，对称中心应该是两个极值点的中点.按MENU键，选择菜单的FCN键，再选择Extremum，OK，可以得到一个极值点00，；移动光标到另外一个极值点附近，重复刚才的操作，得到另外一个极值点233f，，如图2、3；③．求出两个极值点的中点12327，，画出3221123327fxxx的图象如图4，可求2()fx的两个极值点，发现是关于原点成中心对称的，如图5、6；④．故可知，2()fx是奇函数，对称中心为00O，；故321fxxx的对称中心为12327P，.图1图2图3图4图5图6那么，如果不使用图形计算器，该如何考虑呢？受到第二种特殊情况的启发，考虑到32yxx的图象可能是由某个奇函数30yaxcxa通过适当平移得到，故有如下的解法：【解】设将30yaxcxa的图象通过适当平移可以得到32yxx的图象，则可设332yxxaxmcxmn，显然，1a，故332322333yxxxmcxmnxmxmcxnmcm，比较系数，可知：2331300mmcnmcm解得1123327mcn，，.故332111233327yxxxx，将313yxx的图象向左平移13个单位长度，再向上平移227个单位长度，即可得到32yxx的图象.因313yxx的图象对称中心坐标为00O，，故32yxx的图象对称中心坐标为12327P，.将此法推广到一般情况，就可以解决求320yaxbxcxdab的对称中心坐标问题：四、求320yaxbxcxdab的对称中心坐标.【解】设332yaxbxcxdaxmkxmn，3322333axmkxmnaxamxamkxnmkm，比较系数，有2333ambamkcnmkmd解得23332332793bbbbbcmkcndaaaaa，，，故320yaxbxcxdab的对称中心坐标为333232793bbbbcdaaaa，.五、综上，320yaxbxcxda的对称中心坐标为333232793bbbbcdaaaa，.在上面的解题过程中，我们先考虑特殊情况，再考虑一般情况.对于0b的情况，利用了奇函数性质、平移性质来求解；对于0b的情况，利用待定系数法求解.下面我们利用导函数的相关知识来解决此问题.六、利用导数知识，求32()0yfxaxbxcxda的对称中心坐标.【解】232fxaxbxc/，其判别式246bac，导函数图象对称轴方程为3bxa.⑴．当0时，导函数有两个零点12xx、，()yfx有一个极大值、一个极小值，两个极值点的中点即为对称中心，故对称中心横坐标为1223xxbxa，纵坐标为333232793bbbbcfdaaaa.⑵．当0≤时，若0a，则0fx/≥恒成立，()yfx在R上单调递增，当3bxa时，fx/取到最小值，函数增长率最小，对应()yfx图象上的对称中心点；若0a，则0fx/≤恒成立，()yfx在R上单调递减，当3bxa时，fx/取到最大值，函数增长率最大，对应()yfx图象上的对称中心点.故对称中心横坐标为3bxa，纵坐标为333232793bbbbcfdaaaa.七、一点心得图形计算器可以将抽象问题直观化，给我们提供思考的方向，加深我们对问题的理解；但机器毕竟是机器，不可能替代人的思维.我们要合理使用好图形计算器，要用好它，而不是依赖它，被机器所奴役.