福州大学电磁场 第四章 静态场边值问题的解法(1)

第四章静态场边值问题的解法静电场和恒定电场的求解，可归结为在给定边界下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。解析法数值法分离变量法镜像法复变函数法格林函数法有限差分法解法下页上页返回4.1分离变量法1.分离变量法的思想把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解，最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。分离变量法解题的一般步骤：写出边值问题（微分方程和边界条件）；分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加得到通解；下页上页返回利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。下页上页分离变量法采用正交坐标系，当场域边界与正交坐标面重合或平行时，分离变量法是一种有效的方法。2.直角坐标系中的分离变量法（二维场）022222yx分离变量，设解答为：)()(),(ygxfyx02222ygfxfgdddd代入微分方程－22d1yggd，221xffdd设分离常数的取值有三种情况：0)1(λ002222ygxfdddd下页上页0112222yggxffdddd除以fg分离常数yDCgxBAf0000))(()()(00000yDCxBAygxf特解122222211nnkyggkxffdddd下页上页返回指数函数02(2nk)xkBxkAfnnnnshchykDykCgnnnnsincos特解2ykDykCxkBxkAfgnnnnnnnnnsincosshch22222211nnkyggkxffdddd下页上页0)3(2nk＝yshkDychkCgnnnnxkBxkAfnnnnsincos特解3yshkDychkCxkBxkAfgnnnnnnnnnsincos)sincos)(shch(1ykDykCxkBxkAnnnnnnnnn))(()()(0000yDCxBAygxf通解为所有特解的叠加下页上页对于具体问题，根据边界条件确定积分常数，积分常数的确定一般有：①比较系数法②傅立叶级数展开法)'')(sincos'(1yshkDychkCxkBxkAnnnnnnnnn'分离常数kn的确定：①若边界条件可看成周期性（0），则kn为实数，对应解为三角函数；②若边界条件为非周期性，则kn为虚数，对应解为双曲函数或指数函数，其中有限区域的取双曲函数，而无限区域的解衰减的指数函数；③若场与某坐标无关，则kn=0，对应解为常数；④确定了各坐标变量方程的解，它们的乘积是拉氏方程的特解，须将特解线性叠加，使其满足边界条件，从而确定各系数，求得电位函数。下页上页返回试求长直接地金属槽内电位的分布。边值问题（D域内）接地金属槽的截面下页上页例：解：xaaxayaxyayxayaxπsin1000000,0,00,00,(1)(2)(3)(4)代入边界条件，确定积分常数下页上页))(sincos(1yshkDychkCxkBxkAnnnnnnnnn0)(1yshkDychkCAnnnnnn由边界条件（1）得00,0ayx由分析可知通解为：)3,2,1(πnankn下页上页0nA由边界条件（2）得00,ayax0)(sin1nnnnnnnyshkDychkCakB0sinakn由边界条件（3）代入通解得00,0axy10sinnnnaxnCB1)(sinnnnnaynshDaynchCaxnB通解xannFaxnnπsin)π(sh'πsin1001yanxanDByxnnnπshπ)sin(),(1下页上页0nC)()sin('1nnyanshxanFππxaaxayπsin1000,由边界条件（4）代入通解得比较系数当时，1n0'nFyaxashyxπshπ)sin(100),(当时，1n100shπ'1Fshπ100'1F下页上页返回若金属槽盖电位，再求槽内电位分布0U＝通解)()sin),1yanxanFyxnnπshπ（（)πsin()πsin()π(sh110xanExannFUnnnn＝xxanUaEandπsin200.....,,nnU.....,,n531π442000当时，0U＝ay下页上页返回傅立叶级数π)(πnshFEnUnn'40代入通解)()sin((14),(,3,10yanshxannnshUyxnπππ)π.....,,nnshnUFn5314'0π)(π接地金属槽内的等位线分布下页上页下页上页返回一导体槽，槽的宽度在x方向和z方向均为无穷大，槽内有两块T形的导体构成，两块间有一狭缝，上导体板的电压为U0，试求导体槽内的电位。xydU00OxydU00Oxyd00OydU0ydUU0021ydU012020002dyydUdydydUU在x=0平面上，下页上页返回例：解：由y=0,y=d时，2=0可知)sin()(1ydnAygxdneBxf1)(0,2x由可知通解1dnπ2)sin(nxneydnCdydydUUydnCdyydUydnCnnnn2)sin(20)sin(00101由x=0边界条件，下页上页返回])sin()()sin()([2200200dyydnydUUdyydnydUdCdddn])sin()sin()([22000dyydnUdyydnydUdddd])cos()cos[({2000dyydndynynUdCddn})cos(20ddydnndU傅里叶级数系数下页上页返回])cos()cos[(2200dddnydnddynydnUC2cos20nnUCn,,n,,nnUn310422)1(02100)2sin()1(meydmmUydUxd2mπm21设n=2m,下页上页返回01)(12222rrrrr下页上页2.圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）设电位只是r和的函数，拉普拉斯方程为：分离变量,设)()(),(grfr代入微分方程0122222ddddddggrffrrffr＋2222221ddddddggrffrrffr分离常数下页上页02222frfrrfrdddd0222ggdd欧拉方程当时，0000000)(ln)(DCgBrArf不是周期函数因)2,(),(kπrr)()2(gkπg周期函数当时，0nDnCgrBrArfnnnnnnnnsincos)()(,20有限g02222frfrrfrdddd0222ggdd欧拉方程2必为实数sincos)(DCgn必为整数))2(()(gg下页上页返回)sincos()()ln(100nDnCrBrABrAnnnnnnn通解下页上页)}cossin()cossin({)ln(100nDnCrnBnArBrAnnnnnnn或取圆柱坐标系，边值问题垂直于均匀电场E0放置一根无限长均匀介质圆柱棒，试求圆柱内外和E的分布。下页上页返回例：解：ra)}cossin()cossin({)ln(1111101011nDnCrnBnArBrAnnnnnnn通解均匀电场中的介质圆柱棒E021P(r,e下页上页利用给定边界条件确定积分常数通解)}cossin()cossin({)ln(2222102022nDnCrnBnArBrAnnnnnnnar0,D,CAnn0002202对称性),(),(rrb.可知002r参考点a.有限值0,0,0112nnnCAAcos001rExEr通解12022cosnnnnBrBar0c.由比较系数EBBAn10101,0,1通解coscos11rDErracoscos11rDErra12022cosnnnnBrBar0下页上页返回下页上页ararararrr21021eed.分界面的衔接条件22102102)(0BaDEaBaDEaBee02001)()(EaDeeee00022EBeee对于2，n1coscos11rDErra12022cosnnnnBrBar0002B最终解下页上页xxExeeE00222eee2ar0rEraeEeeeecos))()(1(202011arEraeeeeesin))()(1(2020均匀电场eeeecos)()(cos),(002001ErarErraar0xErEr00000022cos2),(eeeeee均匀外电场中介质圆柱内外的电场下页上页介质柱内电场均匀，并与外加电场E平行；xEeεεεE12122表明若e2e1，E2E1；若e2e1，E2E1；,rfrg4.3球坐标系中的分离变量法球坐标系中的拉普拉斯方程为2222222111sin0sinsinrrrrrr设具有分离变量形式的解为,r2rfrg用同乘以上式，得设问题与无关，这时拉普拉斯方程变为22211sin0sinrrrrr222sin0singfrfrgrrrrr仅是的函数仅是r的函数211sin0sinfrgrfrrrg上式若成立，必须2d1dddfrrfrrrd1dsinsinddgg◇引入新自变量cosx该方程变为2dd10ddgxxgxxx勒让德方程◇其解PmgxAx10,1,2,...mmm20122011dP12!dPcosPcossind02PcossindPd21mmmmmmnmmxxmxxxmPmx勒让德多项式:◇关于该方程21frrfrrr而方程的解1mm1mmmmfrArBr球坐标系中拉氏方程的通解10,PcosmmmmmmrfrgArBr例：4.3.1一半径为，介电常数为的介质球置于均匀外电场中，设外电场方向为轴方向，求球内外的电位函数。（教材例4.3.1)ae0Ez外电场00zEe对应的电位00cdoszzzEzEree设圆柱外和圆柱内的电位分别为12,